Analyse II — Dérivabilité & Formules de Taylor
法语数学分析讲义 · 以法语为主，辅以中文翻译 Pour 3ème Semestre（北航中法工程师学院 第三学期）
来源：讲义《ANALYSE II — DÉRIVABILITÉ》（2019-09-03）与《ANALYSE II — Formules de Taylor / Développements limités》（2018-11-08）。内容按原讲义章节顺序忠实整理；原为 PPT 图形的示意图以〔图〕说明代替。
I-1Introduction et exemples引言与实例：瞬时速度、弹道、曲线的逼近
\(s = s(t)\) : la distance parcourue au temps écoulé. La vitesse moyenne（平均速度） :
\[v = \frac{s(t)-s(t_1)}{t-t_1} = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]La vitesse instantanée :
\[v(t_1) = \lim_{t\to t_1}\frac{s(t)-s(t_1)}{t-t_1}, \qquad \text{notée } s'(t_1).\]La position au temps est donnée par \(y(x) = -4{,}9x^2 + 6{,}5x + 10\). Sur l’intervalle \(\left[0\,;\,\tfrac{65}{49}\right]\), la vitesse moyenne est \(0\).
Considérons la vitesse moyenne au temps \(x=2\) quand \(\Delta x \to 0\) :
\[v = \frac{y(2+\Delta x)-y(2)}{\Delta x}, \qquad \Delta x = \pm 0{,}1,\ \pm 0{,}01,\ \pm 0{,}001,\ \pm 0{,}0001,\ \dots\]On a alors, quand \(\Delta x\to 0^{-}\) : \(v = -12{,}61;\ -13{,}051;\ -13{,}0951;\ -13{,}0995;\dots\), et quand \(\Delta x\to 0^{+}\) : \(v = -13{,}59;\ -13{,}149;\ -13{,}1049;\ -13{,}10049;\dots\), donc \(v \to -13{,}1\).
En général, quelle est la vitesse au temps \(x = x_0\) ? \(\;v(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{y(x_0+\Delta x)-y(x_0)}{\Delta x}\).
Soit \(f\) une fonction continue（连续） en \(a\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\) est une approximation（逼近） de \(f\), peu précise. En remplaçant \(f\) au voisinage（邻域） de \(a\) par une corde（弦/割线） passant par le point de coordonnées \((a; f(a))\) …
Soit \(f\) une fonction continue en \(a\) : son graphe, au voisinage de \(a\), est approché par une droite affine — l’interprétation géométrique sera la tangente à la courbe au point \(a\).
Soit \(f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x}, & x \neq 0,\\[2mm] 0, & x = 0.\end{cases}\)
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), mais elle n’est pas dérivable en \(0\), car la fonction \(\displaystyle\varphi(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \sin\frac{1}{x}\) n’a pas de limite（极限） en \(0\). On peut le montrer à l’aide des suites（数列） :
\[u_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \qquad v_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{3\pi}{2}}, \qquad n\in\mathbb{N}:\]\(u_n, v_n \to 0\) quand \(n \to +\infty\), et \(\lim \varphi(u_n) = 1,\ \lim \varphi(v_n) = -1\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-1）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) | 区间 | 讨论函数可导性的载体 |
| mouvement non-uniforme | 非匀速运动 | |
| vitesse moyenne | 平均速度 | 差商 \(\Delta s/\Delta t\) |
| vitesse instantanée | 瞬时速度 | 差商的极限 |
| balistique | 弹道学 | |
| corde / sécante | 弦 / 割线 | 过曲线上两点的直线 |
| approximation affine | 仿射逼近（一次逼近） | 用直线局部代替曲线 |
| voisinage | 邻域 | |
| suite | 数列 | 例 1.5 用 Heine 定理（序列法）说明极限不存在 |
I-2Taux d’accroissement, dérivée, tangente改变率、导数、切线及其线性化表达
\(f,\ a\in I\) : \(\tau_{f,a} : I\setminus\{a\}\to\mathbb{R},\ \displaystyle x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est dite taux d’accroissement（改变率） de la fonction au point \(a\). \(\tau_{f,a}(b)\) est la pente de la corde（弦的斜率） \(AB\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\)（可导） si le taux d’accroissement \(\tau_{f,a}\) possède une limite finie（有限极限） en \(a\) ; cette limite est appelée le nombre dérivé（导数）de \(f\) en \(a\). Noté \(f'(a)\), \(Df(a)\), \(\dfrac{df}{dx}(a)\)（即 \(f\) 在 \(a\) 点对 \(x\) 的导数 \(\frac{df}{dx}(a)\)）.
\[y = f(a) + f'(a)(x-a).\]
Si \(\tau_{f,a} = +\infty\)（ou \(-\infty\)）, on dit que \(f\) admet une tangente verticale（垂直切线） en \(a\) ; si \(f'(a) = 0\), on dit que \(f\) admet une tangente horizontale（水平切线） en \(a\).
\(\lim\limits_{x\to a}\big(f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\big)=0\). Pour tout \(x \in I\), posons \(\varepsilon_0 = \tau_{f,a}\), et \(\varepsilon_1(x) = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a)\) pour \(x\neq a\), \(\varepsilon_1(a)=0\). Alors \(\varepsilon_1(x)\to 0\) quand \(x\to a\). En écrivant
- (a) \(f(x) = f(a) + (x-a)\,\varepsilon_0(x),\ \forall x\in I\) ；
- (b) \(f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\,\varepsilon_1(x),\ \forall x\in I\).
\((x-a)\varepsilon_1(x)\) tend vers \(0\) plus vite que \(\varepsilon_0\). On dit que (b) est une meilleure approximation de \(f\) que (a).
\(f\) est dérivable en \(a\) et de dérivée \(f'(a)=l\) ssi（当且仅当） il existe \(\varepsilon : I \to \mathbb{R}\), \(\varepsilon \to 0\) en \(a\), tel que
\[\forall x \in I,\quad f(x) = f(a) + l(x-a) + \varepsilon(x)(x-a);\]ou, ce qui revient au même, il existe \(\varepsilon\) définie sur un voisinage de \(0\), \(\varepsilon \to 0\) en \(0\), telle que \(\forall h\) : \(f(a+h) = f(a) + lh + \varepsilon(h)\,h\).
1. Soient \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(f : x \mapsto x + \lambda\). \(f\) est dérivable en tout point \(a\in\mathbb{R}\) et on obtient \(f'(a) = 1\).
2. Étudier la dérivabilité de la fonction \(f : x \mapsto \sqrt{x}\) en \(a \in \mathbb{R}_+\).
Si \(a > 0\), elle est dérivable en \(a\) et \(\displaystyle f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim_{x\to a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} = \frac{1}{2\sqrt{a}}\).
Si \(a = 0\), elle n’est pas dérivable en \(0\), car \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}-0}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\) : \(x = 0\) est une tangente verticale de \(y=\sqrt{x}\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-2）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| taux d’accroissement | 改变率（差商） | \(\tau_{f,a}(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) |
| dérivable (en \(a\)) | （在 \(a\) 点）可导 | |
| nombre dérivé | 导数（一个数） | \(f'(a),\ Df(a),\ \frac{df}{dx}(a)\) |
| tangente (à la courbe au point \(a\)) | （曲线在 \(a\) 点的）切线 | |
| tangente verticale / horizontale | 垂直切线 / 水平切线 | 改变率 \(\to\infty\) / \(f'(a)=0\) |
| pente de la corde \(AB\) | 弦 \(AB\) 的斜率 | |
| linéarisation | 线性化 | 带 \(o(x-a)\) 的一阶逼近 |
| ssi (si et seulement si) | 当且仅当 |
I-3Dérivées à droite et à gauche ; caractère local de la dérivabilité左右导数；可导性的局部性质
On dit que \(f\) est dérivable à droite（右可导） en \(a\) si \(\varphi = f|_{I\cap[a;+\infty[}\) est dérivable en \(a\) ; la quantité \(\varphi'(a)\) s’appelle dérivée à droite（右导数） de \(f\) en \(a\) et se note \(f'_d(a)\) ou \(f'_+(a)\).
On dit que \(f\) est dérivable à gauche（左可导） en \(a\) si \(\varphi = f|_{I\cap]-\infty;a]}\) est dérivable en \(a\) ; la quantité \(\varphi'(a)\) s’appelle dérivée à gauche（左导数） de \(f\) en \(a\) et se note \(f'_g(a)\) ou \(f'_-(a)\).
Si \(a\) n’est pas une borne（端点） de \(I\), la fonction \(f\) est dérivable en \(a\) ssi elle est dérivable à droite et à gauche en \(a\) et \(f'_d(a) = f'_g(a)\).
Proof. D’après la définition de la dérivabilité, on a : \(\tau_{f,a}\) possède une limite en \(a\), ssi elle y possède des limites à droite et à gauche qui sont égales. ∎
Remarque 注：此判据的两种用法（Nous l’utilisons pour）：1° 证明函数不可导（左右导数存在但不相等）；2° 反之，证明函数确实可导。
1. \(f(x) = \begin{cases} \exp\!\left(-\frac{1}{x}\right), & x > 0,\\ 0, & x \leqslant 0,\end{cases}\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0) = 0\).
2. \(f(x) = |x|\) n’est pas dérivable en \(0\), car on a \(f'_d(0) = 1 \neq f'_g(0) = -1\).
Si \(f\) coïncide（重合） au voisinage de \(a\) avec une fonction \(g\) dérivable en \(a\), alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = g'(a)\).
Proof. Comme \(f\) coïncide avec \(g\) au voisinage de \(a\), alors \(\tau_{f,a} = \tau_{g,a}\), ce qui prouve le résultat. ∎
\(f(x) = |x^2 - 1|\), \(x \in \mathbb{R}\), est dérivable en \(2\) : pour \(|x-2| \leqslant 1\), on a \(f(x)\) coïncide avec la fonction polynomial \(g(x) = x^2 - 1\) au voisinage de \(2\). Sachant que cette fonction polynôme est dérivable en \(2\) et que \(g'(2) = 4\), on en déduit que \(f\) est dérivable en \(2\) et que \(f'(2) = 4\).〔图：\(y=|x^2-1|\)〕
De même, \(f\) n’est pas dérivable en \(1\) : car pour \(x \geqslant 1\), on a \(f(x) = x^2 - 1\), de dérivée droite \(f'_d(1) = 2\) ; et pour \(x \in [-1;1[\), on a \(f(x) = 1 - x^2\), de dérivée gauche \(f'_g(1) = -2\). Or \(2 \neq -2\), donc \(f\) n’est pas dérivable en \(1\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-3）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| dérivable à droite / à gauche | 右可导 / 左可导 | 限制到 \([a,+\infty[\, /\, ]-\infty,a]\) |
| dérivée à droite / à gauche | 右导数 / 左导数 | \(f'_d(a), f'_+(a)\) / \(f'_g(a), f'_-(a)\) |
| borne (d’un intervalle) | （区间的）端点 | 命题 1.1 要求 \(a\) 不是端点 |
| coïncider au voisinage de \(a\) | 在 \(a\) 的邻域内重合 | 可导性只取决于局部行为 |
| restriction \(f|_{J}\) | 限制（到子集 \(J\) 上） |
I-4Dérivabilité et continuité ; fonction dérivée ; classe \(C^1\)可导与连续、导函数、\(C^1\) 类
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors elle est continue en \(a\).（函数在 \(a\) 点可导，必然在 \(a\) 点连续）
Proof. Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors d’après la définition de la dérivabilité, il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) telle que
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\,\varepsilon(x), \qquad \lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0.\]Par passage à la limite dans cette égalité, on obtient \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\), c.-à-d. \(f\) est continue en \(a\). ∎
- 1. On obtient un résultat similaire avec la dérivabilité à droite (ou à gauche) et la continuité à droite (ou à gauche).
- 2. Une fonction peut être continue en \(a\) sans être dérivable en \(a\).（连续不一定可导）
\(f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{si } x \in \mathbb{Q},\\ 0, & \text{sinon}.\end{cases}\)
\(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\) ; elle n’est continue qu’en \(0\). En \(0\) :
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h^2}{h} = \lim_{h\to 0} h = 0 \ (\text{si } h\in\mathbb{Q}), \qquad \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} = 0 \ (\text{sinon}),\]donc \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0)=0\), mais elle n’est pas dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (car non continue).
\(f(x) = |x|\), \(x \in [-1;1]\). On peut construire le prolongement par continuité（连续延拓） de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (par exemple \(x \mapsto |x|\)) qui est continue sur \(\mathbb{R}\), mais qui n’est pas dérivable en \(0\).
La fonction \(f\) est dérivable en tout point de \(I\) : on dit que \(f\) est dérivable sur \(I\)（在 I 上可导）, et la fonction définie sur \(I\) par \(x \mapsto f'(x)\) est appelée fonction dérivée（导函数） de \(f\), notée \(f'\), \(Df\), \(\dfrac{df}{dx}\).
\(\mathcal{D}(I)\) : l’ensemble des fonctions à valeurs réelles dérivables sur \(I\).
On dit qu’une fonction \(f\) est continûment dérivable（连续可导） sur \(I\) si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si \(f'\) est continue sur \(I\). Noté \(C^1(I)\). Et on dira qu’une telle fonction est de classe \(C^1\)（C¹ 类）.
\[C^1(I) \subset \mathcal{D}(I) \subset C^0(I).\]📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-4）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| prolongement par continuité | 连续延拓 | |
| fonction dérivée | 导函数 | 区别于「nombre dérivé 导数（数值）」 |
| continûment dérivable / classe \(C^1\) | 连续可导 / \(C^1\) 类 | \(f'\) 存在且连续 |
| \(\mathcal{D}(I)\), \(C^0(I)\), \(C^1(I)\) | 可导函数集、连续函数集、\(C^1\) 函数集 | |
| partout dérivable / nulle part dérivable | 处处可导 / 处处不可导 | 存在处处连续但处处不可导的函数 |
I-5Opérations sur les fonctions dérivables ; dérivées usuelles可导函数的运算、求导法则与常用导数表
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(I\) ; \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\). Si \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(a\), alors les fonctions \(\lambda f + \mu g\) et \(fg\) sont dérivables en \(a\) et l’on a
\[(\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a), \qquad (fg)'(a) = f'(a)g(a) + g'(a)f(a).\]Si \(f\) est une fonction dérivable en \(a\), et ne s’annulant pas（不取零值） sur \(I\), alors la fonction \(\dfrac{1}{f}\)（倒数函数） est dérivable en \(a\) et
\[\left(\frac{1}{f}\right)'(a) = -\frac{f'(a)}{f^2(a)}.\]Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables en \(a\). Si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors la fonction \(\dfrac{f}{g}\) est dérivable en \(a\) et
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)g(a) - g'(a)f(a)}{g^2(a)}.\]Soient \(I, J\) deux intervalles, \(f\) une application de \(I\) dans \(J\) et \(g\) une application définie sur \(J\). Si \(f\) est dérivable en \(a \in I\), et \(g\) est dérivable en \(b = f(a)\), alors \(g \circ f\) est dérivable en \(a\) et
\[(g \circ f)'(a) = g'(b)\,f'(a) = g'\big(f(a)\big)\,f'(a).\]Preuve 证明. Soit \(\varepsilon\) la fonction définie sur \(J\) par \(\varepsilon(y) = \dfrac{g(y)-g(b)}{y-b} - g'(b)\) si \(y \neq b\), \(\varepsilon(b) = 0\). Ainsi pour tout \(y \in J\), on a \(g(y) = g(b) + (y-b)g'(b) + (y-b)\varepsilon(y)\). Si \(x \neq a\), on a
\[\frac{g(f(x))-g(b)}{x-a} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Big(g'(b) + \varepsilon(f(x))\Big) \quad (\ast).\]
La dérivabilité de \(g\) en \(b\) nous assure que \(\lim_{y\to b}\varepsilon(y) = 0\). \(f\) est dérivable en \(a\) donc continue ; par composition de limites, \(\lim_{x\to a}\varepsilon(f(x)) = 0\). Par passage à la limite quand \(x \to a\) dans (\(*\)), on obtient \(\lim\dfrac{g(f(x))-g(b)}{x-a} = g'(b)f'(a)\). D’où le résultat. ∎
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone（严格单调） de l’intervalle \(I\), dérivable en \(a \in I\). La fonction \(f^{-1}\) est dérivable en \(b = f(a)\) ssi \(f'(a) \neq 0\), et alors
\[(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{(f' \circ f^{-1})(b)}.\]1. \(f,g\) dérivables de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) :
\[(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g', \qquad (fg)' = f'g + g'f.\]2. Si de plus \(g\) ne s’annule pas sur \(I\) :
\[\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}, \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}.\]3. \(I, J\) deux intervalles, \(f\) dérivable de \(I\) dans \(J\), \(g\) dérivable sur \(J\) : \((g\circ f)' = (g'\circ f)\cdot f'\).
4. Réciproque : en \(f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}\), on obtient \((f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}\).
\(f_n : x \mapsto x^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R},\ f_n'(x) = n x^{n-1}\).
Preuve 证明（récurrence 数学归纳法）. \(n=1\) : \(f_1(x)=x\), \(f_1'(x)=1\). Supposons pour tout \(k < n\), \(f_k'(x) = k x^{k-1}\). Alors pour \(k = n\) : \(f_n(x) = x \cdot x^{n-1}\), d’après la proposition précédente \((fg)'=f'g+g'f\) : \(f_n'(x) = 1\cdot x^{n-1} + (n-1)x^{n-2}\cdot x = n x^{n-1}\). ∎
On en déduit que toute fonction polynôme（多项式函数） \(f : x \mapsto \sum_{k=0}^{n} a_k x^k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et a pour dérivée \(f'(x) = \sum_{k=1}^{n} k a_k x^{k-1}\). Si \(\mathcal{P}\) désigne l’ensemble des fonctions polynômes sur \(\mathbb{R}\), alors \(\mathcal{P} \subset \mathcal{D}(\mathbb{R})\).
Par ailleurs, si \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), pour tout entier \(n \geqslant 1\), la fonction \(f^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((f^n)' = n f^{n-1} f'\).
Le taux d’accroissement（改变率） :
\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{2\sin\frac{h}{2}\cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h}.\]Par passage à la limite : \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = 1\), donc
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = \cos x.\]即 \(\displaystyle\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos\!\big(x+\frac h2\big)\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2}\to\cos x\)。
\[\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{-2\sin\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}{h} \xrightarrow[h\to 0]{} -\sin x \cdot 1 = -\sin x.\]
\(f(x) = \arcsin x\), \(x \in ]-1;1[\). \(g : x \mapsto \sin x\) définit une bijection de \(\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\) sur \(]-1;1[\), strictement croissante et dont la dérivée ne s’annule pas. D’après la proposition précédente, sa fonction réciproque « Arcsinus » est dérivable sur \(]-1;1[\) ; on a alors
\[(\arcsin y)' = \frac{1}{\cos(\arcsin y)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin y)}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.\]\(f(x) = \log_a x\ (a > 0)\). \(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \log_a\!\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\dfrac{1}{h} = \dfrac{1}{x}\log_a\!\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\). Par passage à la limite :
\[\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_a\!\left(1+\frac{h}{x}\right) = \log_a e.\]En particulier, si \(a = e\) : \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\).（一般地 \((\log_a x)' = \dfrac{\log_a e}{x} = \dfrac{1}{x\ln a}\)）
\(f(x) = \tan x\), \(x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\). Par le quotient :
\[f'(x) = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.\]\(f(x) = a^x\ (a > 0)\). Pour la fonction \(y = a^x\), on a sa réciproque \(x = \log_a y\), dont la dérivée est \(\dfrac{1}{y \ln a}\). D’après la proposition de la dérivée de la fonction réciproque, on a
\[(a^x)' = \frac{1}{(\log_a)' \circ f} = \frac{1}{\frac{1}{a^x \ln a}} = a^x \ln a.\]En particulier : \((e^x)' = e^x\).
Ici \(f(x) = u(x)^{v(x)}\) avec \(u(x) > 0\) : on écrit \(f(x) = e^{v(x)\ln u(x)}\), donc
\[f'(x) = e^{v(x)\ln u(x)}\left(v'(x)\ln u(x) + v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\right).\]En particulier, \(f(x) = x^{\alpha}\), \(\alpha \in \mathbb{R}\) constante, \(x \in \mathbb{R}_+^*\) : \(f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}\).
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | Domaine \(D_{f'}\) | Conditions |
|---|---|---|---|
| \(k\)（constante） | \(0\) | \(\mathbb{R}\) | \(k\in\mathbb{R}\) |
| \(kx\) | \(k\) | \(\mathbb{R}\) | \(k\in\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) | \(n\) entier naturel |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) | \(-\dfrac{n}{x^{n+1}}\) | \(\mathbb{R}^*\) | \(n\) entier naturel |
| \(\sqrt[n]{x}\) | \(\dfrac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{\,n-1}}}\) | \(\mathbb{R}_+^*\) | \(n\) entier naturel |
| \(x^{\alpha}\) | \(\alpha x^{\alpha-1}\) | \(\mathbb{R}_+^*\) | \(\alpha\) constante réelle |
| \(\ln|x|\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | cas \(a=e\) de \(\log_a|x|\) |
| \(\log_a|x|\) | \(\dfrac{1}{x\ln a}\) | \(\mathbb{R}^*\) | \(a>0,\ a\ne1\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | cas \(a=e\) de \(a^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) | \(\mathbb{R}\) | \(a>0\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\tan x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x\) | \(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\) | |
| \(\cot x\) | \(-\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1+\cot^2 x)\) | \(\mathbb{R}\setminus\{k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}\) | |
| \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(]-1;1[\) | |
| \(\arccos x\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(]-1;1[\) | |
| \(\arctan x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\sinh x\) | \(\cosh x\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\tanh x\) | \(\dfrac{1}{\cosh^2 x} = 1-\tanh^2 x\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\coth x\) | \(-\dfrac{1}{\sinh^2 x} = 1-\coth^2 x\) | \(\mathbb{R}^*\) | |
| \(\operatorname{arsinh} x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) | \(\mathbb{R}\) | |
| \(\operatorname{arcosh} x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) | \(]1;+\infty[\) | |
| \(\operatorname{artanh} x\) | \(\dfrac{1}{1-x^2}\) | \(]-1;1[\) |
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-5）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| combinaison linéaire | 线性组合 | |
| règle de Leibniz / dérivation d’un produit | 乘积求导法则 | \((fg)'=f'g+g'f\) |
| fonction inverse (\(1/f\)) / fonction quotient | 倒数函数 / 商函数 | 注意与 « fonction réciproque » 区分 |
| fonction composée / règle de chaîne | 复合函数 / 链式法则 | \((g\circ f)'=(g'\circ f)f'\) |
| fonction réciproque | 反函数 | \((f^{-1})'=1/(f'\circ f^{-1})\) |
| récurrence (finie) | （数学）归纳法 | 例 1.11 的证明方法 |
| fonction polynôme \(\mathcal{P}\) | 多项式函数 | \(\mathcal P\subset\mathcal D(\mathbb R)\) |
| fonction exponentielle / logarithme | 指数函数 / 对数函数 | |
| dérivées usuelles | 常用（基本初等函数的）导数 | |
| 幂指函数 \(u^v = e^{v\ln u}\) | power-exponential function |
I-6Exemples approfondis进阶例题：可导但不 \(C^1\)、分段函数、处处连续处处不可导
\(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\dfrac{1}{x}, & \text{si } x \neq 0,\\ 0, & \text{si } x = 0.\end{cases}\)
Pour \(a \neq 0\), \(f\) est dérivable en \(a\) — c’est le produit d’une fonction polynôme et de la composée de la fonction Sinus avec une fonction rationnelle — donc dérivable en \(a\), et
\[f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} + x^2\cos\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}.\]Si \(a = 0\), considérons le taux d’accroissement :
\[\tau_{f,0}(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = x\sin\frac{1}{x}.\]\(\sin\frac{1}{x}\) est une fonction bornée（有界函数） et \(x \to 0\) ; donc \(\lim_{x\to 0}\tau_{f,0}(x) = 0\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais \(f'\) n’est pas continue en \(0\).
\(f(x) = \begin{cases} x^2 (x-1)^2, & \text{si } x \in [0;1],\\ 0, & \text{si } x \in [-1;0[\ \cup\ ]1;+\infty[.\end{cases}\)
En \(a \in [-1;0[\,\cup\,]0;1[\,\cup\,]1;+\infty[\), la fonction \(f\) est dérivable et on a \(f'(x) = \begin{cases} 2x(x-1)(2x-1), & x \in ]0;1[,\\ 0, & \text{sinon.}\end{cases}\)
La restriction（限制） de \(f\) à \(]-1;0]\) coïncide avec la fonction nulle（零函数）, donc \(f\) est dérivable à gauche en \(0\) et \(f'_g(0) = 0\). La restriction de \(f\) à \([0;1[\) coïncide avec la fonction polynômiale \(g(x) = x^2(x-1)^2\) ; \(f\) est donc dérivable à droite en \(0\) et \(f'_d(0) = g'(0) = 0 = f'_g(0)\). On a alors \(f\) dérivable en \(0\). De même \(f\) est dérivable en \(1\).
Il existe des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) mais dérivables en aucun point（如 Weierstrass 函数）.
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-6）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| produit d’une fonction polynôme et d’une composée | 多项式与复合函数之积 | 运算封闭性判可导 |
| fonction bornée | 有界函数 | 有界 × 无穷小 = 无穷小 |
| restriction \(f|_J\) | 限制 | 分段函数逐段处理 |
| fonction nulle | 常零函数 | |
| continue partout mais dérivable nulle part | 处处连续但处处不可导 | Weierstrass 型反例 |
I-7Extremum, théorèmes de Rolle et des accroissements finis极值、Rolle 定理、（Lagrange / Cauchy）中值定理与单调性
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un point de \(I\) qui n’en est pas une borne（端点）. Si la fonction présente un extremum（极值）local en \(a\) et si elle est dérivable en \(a\), alors
\[f'(a) = 0.\]Preuve. Comme \(a\) n’est pas une extrémité de l’intervalle \(I\), on peut trouver \(h_1 > 0\) tel que \(]a-h_1; a+h_1[ \subset I\). Supposons que \(f\) présente un maximum local en \(a\), i.e. il existe \(h_2 > 0\) tel que \(\forall x \in I,\ |x-a| \leqslant h_2 \Rightarrow f(x) \leqslant f(a)\). Posons \(h = \min(h_1, h_2)\). Pour \(0 < x-a \leqslant h\), on a \(\tau_{f,a}(x) = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant 0\) ; par passage à la limite, \(f'_d(a) \leqslant 0\). De même pour \(-h \leqslant x-a < 0\), on a \(\tau_{f,a}(x) \geqslant 0\), donc \(f'_g(a) \geqslant 0\). Comme \(f\) est dérivable en \(a\), on en déduit \(f'(a) = f'_g(a) = f'_d(a) = 0\). ∎
- Une fonction peut avoir un extremum local en \(a\) et ne pas être dérivable en \(a\)（极值点处未必可导） : \(f : x \mapsto |x|\) en \(0\).
- Si \(a\) est une extrémité de l’intervalle, une fonction peut présenter un extremum local en \(a\) et être dérivable en \(a\) sans que sa dérivée y soit nulle（函数可在端点处取得极值，但导数不为零）: \(f : x \mapsto x,\ x \in [0;1]\), en \(1\).
- L’annulation de la dérivée de \(f\) en \(a\) n’est qu’une condition nécessaire pour que \(f\) possède un extremum local en \(a\)（\(f'(a)=0\) 并不是函数 \(f\) 在 \(a\) 点取得极值的充分条件）: \(f(x) = x^3\), la dérivée s’annule en \(0\), mais \(f\) ne possède pas d’extremum en \(0\).
\(a, b \in \mathbb{R},\ a < b\) ; \(f\) est continue sur \([a;b]\) et dérivable sur \(]a;b[\) ; et \(f(a) = f(b)\). Alors il existe \(c \in ]a;b[\) tel que \(f'(c) = 0\).
Preuve. \(f \in C([a;b])\), l’image de \(f\) est un segment \([m;M]\) avec \(m \leqslant M\). Si \(m = M\), la fonction \(f\) est constante sur \([a;b]\), donc de dérivée nulle. Si \(m < M\), l’un des réels \(m\) ou \(M\) est différente de la valeur commune prise par \(f\) en \(a\) et \(b\). Supposons \(m \neq f(a)\) ; la fonction \(f\) atteint la valeur \(m\) en un point \(c\) différent de \(a\) et de \(b\) (théorème de la borne atteinte) ; elle admet donc un minimum en \(c\), ce qui, par le théorème de Fermat, implique \(f'(c) = 0\). ∎
\(a, b \in \mathbb{R},\ a < b\) ; \(f\) est continue sur \([a;b]\) et dérivable sur \(]a;b[\). Alors il existe \(c \in ]a;b[\) tel que
\[f(b) - f(a) = f'(c)(b-a).\]Preuve. Considérons la fonction \(\varphi\) dont le graphe est la droite reliant les points \((a;f(a))\) et \((b;f(b))\), définie sur \([a;b]\) par
\[\varphi(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\]
La fonction \(\varphi\) est continue sur \([a;b]\), dérivable sur \(]a;b[\) et vérifie \(\varphi(a) = f(a),\ \varphi(b) = f(b)\). En appliquant le théorème de Rolle à la fonction \(\varphi(x) - f(x)\), on a \(\exists\, c \in ]a;b[\) tel que \(\varphi'(c) = f'(c)\). Ce qui équivaut à \(f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). ∎
Interprétation géométrique（几何解释）：Soit \(f\) dérivable sur \(]a;b[\) ; la courbe passe par \(a\) et \(b\). Comme la tangente change de direction de point en point, il existe un point où la tangente est parallèle à la corde joignant \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\).
- Le théorème de Rolle ne s’étend pas aux fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles. Ainsi, la fonction dérivable de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) définie par \(f(x) = e^{ix}\) satisfait \(f(0) = f(2\pi)\) alors que sa dérivée, \(f'(x) = i e^{ix}\), ne s’annule pas.
- Si on passe d’un segment ouvert \(]a;b[\) à un segment fermé \([a;b]\) dans la condition (2) (dérivabilité), le théorème reste vrai. Exemple : \(f(x) = \arcsin x,\ x \in [-1;1]\) n’est pas dérivable en \(1\) et \(-1\), mais on peut utiliser le théorème de Rolle sur \(]-1;1[\) : le champ d’application devient plus grand quand on ne demande la dérivabilité qu’à l’intérieur.
- Si on réduit la condition (1) à « \(f\) est continue sur \(]a;b[\) » seulement, le théorème ne tient plus : \(f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0;1[,\\ 1, & x = 1 \end{cases}\) a une dérivée nulle sur \(]0;1[\) (elle est dérivable donc continue sur \(]0;1[\)), mais \(f(1) - f(0) = 1 \neq 0 = f'(c)(1-0)\).
La fonction est dérivable sur l’intervalle, c’est-à-dire que sa représentation graphique n’a pas de discontinuités, ni même de points anguleux.
Soit \(f\) une fonction dérivable sur l’intervalle \(I\). Étant donnés deux réels \(x\) et \(h\) tels que \(x, x+h \in I\), alors il existe \(\theta \in [0;1]\) tel que
\[f(x+h) = f(x) + h f'(x + \theta h).\]Preuve. Lorsque \(h = 0\), \(\theta\) peut être choisi arbitrairement. En appliquant le théorème des accroissements finis sur le segment \([x; x+h] \subset I\) sur lequel \(f\) est dérivable donc continue, on sait qu’il existe \(c \in [x; x+h]\) tel que \(h f'(c) = f(x+h) - f(x)\), soit \(f(x+h) = f(x) + h f'(c)\), où \(c\) est de la forme \(x + \theta h\), \(\theta \in [0;1]\). ∎
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction \(f(x) = x^2 + x\) sur l’intervalle \([a;b]\), préciser le nombre \(c \in ]a;b[\) et donner une interprétation géométrique.
Réponse. \(f\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc en particulier sur \([a;b]\) : le TAF assure l’existence d’un \(c\) tel que \(f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)\). Mais ici on peut expliciter \(c\) : \(f(b)-f(a) = (b^2 - a^2) + (b-a) = (2c+1)(b-a)\) implique \((b+a) + 1 = 2c+1\), donc
\[c = \frac{a+b}{2}.\]Interprétation géométrique. Le graphe \(\mathcal{P}\) de \(f\) est une parabole. Si l’on prend deux points \(A = (a;f(a))\) et \(B = (b;f(b))\) appartenant à cette parabole, alors la droite \((AB)\) est parallèle à la tangente au point \(M = \left(\frac{a+b}{2}; f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)\) : l’abscisse de \(M\) est le milieu des abscisses de \(A\) et \(B\).
Soit \(f\) continue sur \([a;b]\) et dérivable sur \(]a;b[\). Alors \(f\) est constante ssi \(f'(x) = 0,\ \forall x \in [a;b]\).
Preuve. « ⟸ » évident. Réciproquement, si \(\forall x \in ]a;b[,\ f'(x) = 0\) : prenons deux points \(x_1, x_2 \in [a;b],\ x_1 < x_2\). D’après le TAF, il existe \(c \in ]x_1;x_2[\) tel que \(f(x_1) - f(x_2) = f'(c)(x_1 - x_2) = 0\), donc \(f(x_1) = f(x_2)\) : \(f\) est constante sur \([a;b]\). ∎
Soient \(a, b \in \mathbb{R},\ a < b\) ; \(f\) continue sur \([a;b]\) et dérivable sur \(]a;b[\). S’il existe \(M \in \mathbb{R}_+\) tel que \(\forall x \in\, ]a;b[,\ |f'(x)| \leqslant M\), alors
\[|f(b) - f(a)| \leqslant M (b - a).\]Preuve. D’après l’égalité des accroissements finis appliquée à \(f\) sur \([a;b]\), il existe \(c \in ]a;b[\) tel que \(f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)\) ; en prenant la valeur absolue, \(|f(b)-f(a)| = |f'(c)|(b-a) \leqslant M(b-a)\). ∎
Corollaire 2.2. Si \(f'(x) \geqslant m,\ \forall x \in ]a;b[\), alors \(f(b) - f(a) \geqslant m(b-a)\).
Corollaire 2.3. Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et s’il existe \(M \geqslant 0\) tel que \(|f'(x)| \leqslant M\), alors \(\forall (x_1, x_2) \in I^2,\ |f(x_1) - f(x_2)| \leqslant M |x_1 - x_2|\)（\(f\) est lipschitzienne sur \(I\)）.
Soient \(f, g\) deux fonctions continues sur \([a;b]\) et dérivables sur \(]a;b[\), vérifiant \(g'(x) \neq 0\) sur \(]a;b[\). Alors il existe \(c \in ]a;b[\) tel que
\[\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.\]Preuve. Si \(g(a) = g(b)\), d’après le théorème de Rolle, il existe \(c \in ]a;b[\) tel que \(g'(c) = 0\) — contradiction avec \(g' \neq 0\). Donc \(g(a) \neq g(b)\). Considérons la fonction
\[h(x) = f(x) - g(x)\,\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\]
\(h\) est dérivable sur \(]a;b[\) et continue sur \([a;b]\), et \(h(a) = h(b) = \dfrac{f(a)g(b) - f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}\). En appliquant Rolle, il existe \(c\) tel que \(h'(c) = 0\), ce qui équivaut à \(f'(c) = g'(c)\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\). ∎
Soient \(I\) un intervalle et \(f\) une fonction dérivable de \(I\) dans \(\mathbb{R}\). La fonction \(f\) est croissante（递增） (resp. décroissante（递减）) sur \(I\) ssi
\[\forall x \in I,\quad f'(x) \geqslant 0 \qquad (\text{resp. } f'(x) \leqslant 0).\]Preuve. (⟹) Si \(f\) est croissante, \(\forall x_0 \in I\), le taux d’accroissement de \(f\) en \(x_0\) est une fonction positive et sa limite \(f'(x_0)\) est donc positive. (⟸) Réciproquement, supposons \(\forall x \in I,\ f'(x) \geqslant 0\). Soient \(x_1, x_2 \in I,\ x_1 < x_2\). Par l’inégalité des accroissements finis sur \([x_1;x_2]\) : \(f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \geqslant 0\), par suite \(f(x_2) \geqslant f(x_1)\) : \(f\) est croissante. ∎
Proposition 2.5. \(f\) dérivable sur \(I\). \(f\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur \(I\) si \(\forall x \in I,\ f'(x) > 0\) (resp. \(f'(x) < 0\)). Remarque : la réciproque est évidemment fausse en général : \(f(x) = x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) mais \(f'(0) = 0\).
Proposition 2.6. Une fonction \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) est strictement monotone sur \(I\) ssi on a les deux conditions suivantes : 1° sa dérivée est de signe constant ; 2° il n’existe pas d’intervalle inclus dans \(I\) et contenant au moins deux points sur lequel \(f'\) soit identiquement nulle.（即：不存在包含于 \(I\) 的、且至少包含二个不同点的区间，使得 \(f'\) 在此区间恒为零）
Preuve (2.6). La condition (1) étant équivalente à la monotonie de \(f\), il suffit de montrer que pour une fonction monotone dérivable, la stricte monotonie est équivalente à la condition (2). Or \(f\) n’est pas strictement monotone ssi on peut trouver deux points distincts \(a\) et \(b\) tels que \(f(a) = f(b)\), i.e. ssi \(f\) est constante sur un intervalle contenant au moins deux points ; enfin, ssi \(f' = 0\) sur un tel intervalle. ∎
Proposition 2.7. Si \(f'\) est de signe constant et ne s’annule qu’en un nombre fini de points, alors \(f\) est strictement monotone.（即 \(f'\) 在有限个点处为零不会影响 \(f\) 的单调性；非必要条件）〔图 : \(f'\) s’annule en des points dénombrables〕
Remarque. Si \(I\) n’est pas un intervalle, alors \(f'\) peut être nul sans pour autant que la fonction soit constante（\(I\) 必须为区间，否则 \(f'=0 \nRightarrow f\) 为常数）.
Exemple 2.2. Montrer que la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(x \mapsto \arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}\) n’est pas constante :
\[f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^*.\]\(f'\) est nulle sur \(\mathbb{R}^*\) qui n’est pas un intervalle. Or \(f(1) = \arctan 1 + \arctan 1 = \frac{\pi}{2}\) : \(f\) est constante égale à \(\frac{\pi}{2}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) ; \(f(-1) = -\frac{\pi}{2}\) : \(f\) est constante égale à \(-\frac{\pi}{2}\) sur \(\mathbb{R}_-^*\). Donc \(f\) n’est pas constante sur \(\mathbb{R}^*\).
| Inégalité | Pour tout |
|---|---|
| \(|\sin x| \leqslant |x|\) | \(\forall x \in \mathbb{R}\) |
| \(\ln(1+x) \leqslant x\) | \(\forall x \in ]-1;+\infty[\) |
| \(e^x \geqslant 1 + x\) | \(\forall x \in \mathbb{R}\) |
| \(\tan x \geqslant x\) | \(\forall x \in [0;\frac{\pi}{2}[\) |
| \(\sinh x \geqslant x\) | \(\forall x \geqslant 0\) |
| \(\tanh x \leqslant x\) | \(\forall x \geqslant 0\) |
Preuves (par TAF / IAF). 1. \(\forall t,\ |(\sin t)'| = |\cos t| \leqslant 1\) ; appliquer l’IAF à Sinus sur \([0;x]\) (resp. \([x;0]\)) : \(|\sin x| \leqslant |x|\). 2. \(f(x) = \ln(1+x) - x\) : \(f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 = \frac{-x}{1+x}\), négative sur \([0;+\infty[\), positive sur \(]-1;0]\) ; donc \(f\) croît sur \(]-1;0]\) et décroît sur \([0;+\infty[\) ; comme \(f(0) = 0\), \(f(x) \leqslant 0\) sur \(]-1;+\infty[\), i.e. \(\ln(1+x) \leqslant x\). 3. Appliquer le TAF à \(e^x\) sur \([0;x]\) : \(e^x - e^0 = x e^c \geqslant x\) (si \(x \geqslant 0\), car \(e^c \geqslant 1\) ; l’autre cas est analogue). 4. \((\tan)' = \frac{1}{\cos^2} \geqslant 1\) sur \([0;\frac\pi2[\) ⟹ \(\tan x \geqslant x\). 5–6. \((\sinh)' = \cosh \geqslant 1\) et \((\tanh)' = 1 - \tanh^2 \leqslant 1\), TAF sur \([0;x]\). ∎
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-7）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| extremum (local) / minimum / maximum local | （局部）极值 / 极小 / 极大 | |
| théorème de Fermat (lemme de Fermat) | 费马引理 | 内点极值＋可导 ⟹ 导数为零 |
| théorème de Rolle | 罗尔定理 | |
| égalité des accroissements finis (TAF, Lagrange) | 有限增量公式 / Lagrange 中值定理 | |
| inégalité des accroissements finis (IAF) | 有限增量不等式 | |
| théorème de Cauchy (accroissements finis) | 柯西中值定理 | |
| croissant / décroissant / strictement monotone | 递增 / 递减 / 严格单调 | |
| signe constant | 定号（符号不变） | |
| fonction lipschitzienne | 利普希茨函数 | 推论 2.3 |
| borne atteinte (théorème des bornes atteintes) | 最值定理（有界闭区间上连续函数取到最值） | Rolle 证明所依赖 |
| parabole / tangente parallèle à la corde | 抛物线 / 平行于弦的切线 | 例 2.1 几何解释 |
I-8Fonctions hyperboliques ; règle de L’Hôpital ; série harmonique双曲函数、洛必达法则与调和级数
Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques. Ce sont les fonctions suivantes :〔图 (a)–(d) : sinh, cosh, tanh, coth〕
Sinus hyperbolique（双曲正弦） : \(\displaystyle \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\). sinh est une bijection（双射） de classe \(C^1\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), strictement croissante et impaire（奇函数）.
Cosinus hyperbolique : \(\displaystyle \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\). cosh est une application de classe \(C^1\) de \(\mathbb{R}\) dans \([1;+\infty[\), strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\) et paire.
Tangente hyperbolique : \(\displaystyle \tanh(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}\). tanh est une bijection de classe \(C^1\) de \(\mathbb{R}\) dans \(]-1;1[\), strictement croissante et impaire.
Cotangente hyperbolique : \(\displaystyle \coth(x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1}\). coth est une bijection de classe \(C^1\) de \(\mathbb{R}^*\) dans \(]-\infty;-1[\,\cup\,]1;+\infty[\).
注意 \(\cosh\) 的导数不带负号（与三角的 \(\cos'=-\sin\) 对照）。
Sécante hyperbolique : \(\forall x \in \mathbb{R},\ \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}\). Cosécante hyperbolique : \(\forall x \in \mathbb{R}^*,\ \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}\).
Par construction, \(e^x = \cosh x + \sinh x\) et \(e^{-x} = \cosh x - \sinh x\). On en déduit la formule suivante :
\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.\]De même que les points \((\cos x; \sin x)\) décrivent un cercle lorsque \(x\) parcourt \(\mathbb{R}\), les points \((\cosh x; \sinh x)\) décrivent une branche d’hyperbole（双曲线的一支）.
Soient \(f, g\) deux fonctions dérivables sur \(]a;b[\), et \(g'\) ne s’annulant pas. Si
\[\lim_{x\to a^+} f(x) = 0, \quad \lim_{x\to a^+} g(x) = 0, \quad \lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)} = l,\]alors \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} = l\).
Et (forme \(\frac{\cdot}{\infty}\)) si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} g(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)} = l\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} = l\).
Preuve. On construit le prolongement par continuité de \(f\) et de \(g\) en \(a\) : \(\tilde f(x) = f(x)\) si \(x \neq a\), \(\tilde f(a) = 0\) ; de même \(\tilde g\). En utilisant le TAF (de Cauchy) sur le segment \([a;x]\), on a alors il existe \(c \in ]a;x[\) tel que
\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\tilde f(x) - \tilde f(a)}{\tilde g(x) - \tilde g(a)} = \frac{\tilde f'(c)}{\tilde g'(c)} = \frac{f'(c)}{g'(c)},\]
et \(c \to a^+\) lorsque \(x \to a^+\) : on a donc \(\lim_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = l\). ∎
1. On remarquera que les formes ne donnent que des conditions suffisantes d’existence de la limite. Il existe donc des cas où la limite du quotient des dérivées n’existe pas et pourtant la limite du quotient des fonctions existe.（导数比极限存在只是充分条件）
Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 \sin\frac1x}{x} = \lim_{x\to0} x\sin\frac1x = 0\), mais \(\displaystyle\frac{(x^2\sin\frac1x)'}{(x)'} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x\) n’admet pas de limite en \(0\).
2. On prendra soin de vérifier que \(g'(x)\) est bien non nul au voisinage de \(a\) ; sinon la règle n’est pas applicable.（\(g'\) 在 \(a\) 邻域不为 \(0\)，否则洛必达法则不适用）Exemple : \(f(x) = x + \cos x \sin x\), \(g(x) = e^{\sin x}\big(x + \cos x \sin x\big)\) ; alors
\[f'(x) = 2\cos^2 x, \qquad g'(x) = e^{\sin x}\cos x\big(x + \sin x \cos x + 2\cos x\big),\]donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2\cos x}{e^{\sin x}\big(x+\sin x\cos x + 2\cos x\big)} = 0\), mais \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{e^{\sin x}}\) n’admet pas de limite en \(+\infty\) car \(\dfrac{1}{e^{\sin x}}\) oscille entre \(\dfrac1e\) et \(e\).
Soit \(x > 0\) ; \(f(x) = \ln x\). En appliquant le TAF à la fonction ln sur \([x; x+1]\) :
\[\frac{1}{x+1} \leqslant \ln(x+1) - \ln x \leqslant \frac{1}{x}.\]On a alors, pour \(p \geqslant 2\)
\[\ln(p+1) - \ln p \leqslant \frac{1}{p} \leqslant \ln p - \ln(p-1),\]en sommant terme à terme :
\[\ln(n+1) - \ln 2 \leqslant \sum_{p=2}^{n}\frac{1}{p} \leqslant \ln n,\]et donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p} = 1\). Nous venons de montrer que la série appelée série harmonique（调和级数）\(\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac1n\) diverge, et que cette divergence a lieu à la vitesse \(\ln n\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-8）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| fonctions hyperboliques : sinh, cosh, tanh, coth | 双曲正弦/余弦/正切/余切 | |
| sectante / cosectante hyperbolique (sech, csch) | 双曲正割 / 双曲余割 | |
| branche d’hyperbole | 双曲线的一支 | \((\cosh,\sinh)\) 的轨迹 |
| règle de L’Hôpital | 洛必达法则 | \(\frac00,\ \frac{\cdot}{\infty}\) 型 |
| forme indéterminée | 不定式 | |
| condition suffisante | 充分条件 | 洛必达只给充分性 |
| série harmonique | 调和级数 | 发散，速度 \(\ln n\) |
| sommer terme à terme | 逐项求和（叠代求和） | |
| vitesse (de divergence / convergence) | （发散/收敛的）速度 |
I-9Prolongement \(C^1\) ; suites récurrentes et points fixes\(C^1\) 延拓、递推数列与不动点
Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(I\). Soit \(a \in \mathbb{R}\) une borne de \(I\) telle que \(a \notin I\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x) = l \in \mathbb{R}\), alors on peut prolonger \(f\) par continuité（连续延拓） en \(a\). Est-ce que ce prolongement est dérivable en \(a\) ? Est-il de classe \(C^1\) en \(a\) ?
1. On construit le prolongement par continuité \(\tilde f : I \cup \{a\} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \begin{cases} f(x), & x \neq a,\\ l, & \text{sinon.}\end{cases}\) Ce prolongement est continu sur \(I \cup \{a\}\).
2. Si la limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\tilde f(x) - \tilde f(a)}{x-a}\) existe, \(\tilde f\) est dérivable en \(a\).
3. Si \(\tilde f\) est bien dérivable en \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f'(x) = \tilde f'(a)\), alors \(\tilde f\) est continûment dérivable en \(a\).
Soit \(a \in I\), \(f \in C(I)\) et dérivable sur \(I \setminus \{a\}\). Si \(f'|_{I\setminus\{a\}}\) a une limite finie \(l\) en \(a\), alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = l\), et donc \(f'\) est continue en \(a\).
Preuve. Soit \(x \in I\setminus\{a\}\) ; le TAF nous donne un point \(c_x\) strictement compris entre \(a\) et \(x\) tel que \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c_x)\). Comme \(c_x \to a\) lorsque \(x \to a\), on en déduit \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x\to a} f'(c_x) = l = f'(a)\). Ce qui donne le résultat cherché. ∎
Remarque. C’est une condition suffisante. Il se peut que \(f'(a)\) existe sans que \(f'|_{I\setminus\{a\}}\) ait une limite en \(f'(a)\).
Exemple 2.4. \(f(x) = x^2\sin\frac1x\). Le prolongement de cette fonction en \(0\) est \(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac1x, & x \neq 0,\\ 0, & \text{sinon.}\end{cases}\) On calcule sa dérivée en \(0\) par le taux d’accroissement : \(f'(0) = \lim_{x\to 0} x \sin \frac1x = 0\). Mais \(f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x\) n’a pas de limite en \(0\).
Le prolongement de la fonction \(f\)（判据）. 1. 类似地构造延拓 \(\tilde f\)；2. 若 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f'(x) = l\) 存在，则 \(\tilde f\) 在 \(I\) 上可导且为 \(C^1\) 类。
Exemple 2.5. \(f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}}, & \text{si } x > 0,\\ 0, & \text{si } x \leqslant 0.\end{cases}\)
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^*\) en tant que composée de fonctions de classe \(C^1\). En \(0\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f'(x) = \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-1/x}}{x^2} = 0\). Donc \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
On dit qu’un sous-ensemble \(X \subset D\) est stable（稳定的） pour \(f\) ssi \(f(X) \subset X\).
Les suites récurrentes（递推数列）. 1. Considérons une fonction \(f : X \to \mathbb{R}\). Si \(u_0 \in X\) où \(X\) est une sous-partie stable, alors on définit la suite récurrente
\[\begin{cases} u_0 \in X \subset D,\\ u_{n+1} = f(u_n) \quad \forall n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]Si \(f\) est croissante sur \(X\), alors \(\begin{cases} u_0 \leqslant u_1 \Rightarrow (u_n) \text{ croissante},\\ u_0 \geqslant u_1 \Rightarrow (u_n) \text{ décroissante}.\end{cases}\)
Si \(f\) est décroissante sur \(X\), alors \(f \circ f\) est croissante sur \(X\), et
\[\begin{cases} u_0 \leqslant u_2 \Rightarrow (u_{2n}) \text{ croissante}, & u_0 \geqslant u_2 \Rightarrow (u_{2n}) \text{ décroissante},\\ u_1 \leqslant u_3 \Rightarrow (u_{2n+1}) \text{ croissante}, & u_1 \geqslant u_3 \Rightarrow (u_{2n+1}) \text{ décroissante}.\end{cases}\]Si \(f\) est continue sur un sous-ensemble \(X\) qui est stable et si \(u_n \to l \in X\), alors
\[l = f(l),\]\(l\) est dite le point fixe（不动点）. Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe.
Exemple 2.6. \(f(x) = x + 1\) n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel \(x\) égal à \(x + 1\).
Définition 2.3. Un point fixe attractif（吸引不动点）d’une application \(f\) est un point fixe \(x_0\) de \(f\) tel qu’il existe un voisinage de \(x_0\) sur lequel la suite de nombres réels \(x,\ f(x),\ (f\circ f)(x),\ (f\circ f\circ f)(x), \dots\) converge vers \(x_0\). Tous les points fixes d’une fonction ne sont pas nécessairement attractifs : ainsi, la fonction réelle \(x \mapsto -x\) possède un unique point fixe en \(0\), qui n’est pas attractif.
1. Si \(|f'(l)| < 1\), alors \(l\) est un point fixe attractif. De plus, si \(u_n \to l\), alors \(u_n\) converge à vitesse exponentielle vers \(l\) : i.e.
\[\exists\, 0 < k < 1,\ \exists\, C > 0 \text{ tels que } |u_n - l| \leqslant C k^n\]à partir d’un certain rang.
En effet. \(|u_n - l| = |f(u_{n-1}) - f(l)| = |f'(c_n)|\,|u_{n-1} - l|\), où \(c_n\) est compris entre \(u_{n-1}\) et \(l\). On sait que \(|f'(l)| < 1\) et \(f \in C^1\) : prenons \(\varepsilon = \dfrac{1 - |f'(l)|}{2} > 0\) ; \(\exists \delta > 0,\ \forall x \in\, ]l-\delta, l+\delta[,\ |f'(x)| \leqslant |f'(l)| + \varepsilon\). Notons \(k = \dfrac{1 + |f'(l)|}{2} < 1\). En sachant que \(u_n \to l\), pour tel \(\delta\), \(\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N,\ u_n \in\, ]l-\delta, l+\delta[\), donc pour tout \(n > N\), \(|f'(c_n)| \leqslant k\). On a alors
\[|u_n - l| \leqslant k|u_{n-1}-l| \leqslant k^2 |u_{n-2}-l| \leqslant \dots \leqslant k^{n-N}|u_N - l| = \frac{|u_N - l|}{k^N}\,k^n = C k^n,\]
avec \(C = \dfrac{|u_N-l|}{k^N}\) une constante. ∎
2. Si \(|f'(l)| > 1\), alors \(l\) est un point fixe répulsif（相斥不动点） : de même, \(|u_n - l| \geqslant k |u_{n-1}-l| \geqslant \dots \geqslant k^{n-N}|u_N - l|\) avec \(k = \dfrac{1 + |f'(l)|}{2} > 1\), donc \(|u_n - l| \to +\infty\) quand \(n \to +\infty\) (sauf si \(u_n = l\) à partir d’un rang).
3. Si \(|f'(l)| = 1\), c’est un cas d’indétermination. Exemple : \(f(x) = \dfrac1x\), de classe \(C^1(\mathbb{R}^*)\). \(f(1) = 1\) : \(x = 1\) est un point fixe de \(f\) ; \(f'(1) = -1\), alors \(|f'(1)| = 1\). Si \(u_0 = 2\), on a \(u_1 = \frac12, u_2 = 2, u_3 = \frac12, u_4 = 2, \dots\), i.e. \(u_{2n} = 2,\ u_{2n+1} = \frac12\) : ce qui implique que \((u_n)\) diverge. Si \(u_0 = 1\), alors \(u_n \equiv 1\) : suite constante, convergente.
\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2 - 1\). (1) La suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) est bien définie et \(\mathbb{R}\) est stable pour \(f\). (2) \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) ; si \(u_n \to l \in \mathbb{R}\), alors
\[l = l^2 - 1 \iff l_1 = \frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad l_2 = \frac{1-\sqrt5}{2}.\](3) Monotonie. (a) Supposons \(u_0 \in \,]l_1;+\infty[\). Tout d’abord, \(]l_1;+\infty[\) est stable et \(f\) y est croissante ; ensuite \((u_n)\) est monotone sur cet intervalle : \(f(x) - x > 0\) sur \(]l_1;+\infty[\) ⟹ \((u_n)\) croissante. Enfin, si elle convergeait, elle convergerait vers un point fixe de \(f\), donc \(l_1\) ; mais la suite est croissante et \(u_0 > l_1\) : cela ne converge pas vers \(l_1\) ; nécessairement \(u_n \to +\infty\). En effet, \(f'(l_1) = \dfrac{1+\sqrt5}{2} > 1\) et \(f'(x) = 2x\) est croissante sur \(]l_1;+\infty[\) : pour tout \(x > l_1\), \(|f'(x)| \geqslant k_1 = 1 + \frac{\sqrt5 - 1}{2}\cdot 2 \Rightarrow\) en appliquant le TAF sur \([l_1; u_n]\),
\[|u_n - l_1| = |f(u_{n-1}) - f(l_1)| \geqslant k_1 |u_{n-1}-l_1| \geqslant \dots \geqslant k_1^{\,n}|u_0 - l_1|,\]d’où \(u_n \geqslant l_1 + k_1^n (u_0 - l_1) \to +\infty\) à vitesse exponentielle. (On peut prendre \(k_1 = 1+\sqrt5 > 1\).)
(b) \(u_0 = l_1\) : la suite est constante.
(c) \(u_0 \in\, ]1; l_1[\) : alors \(u_1 \in\, ]0; l_1[\) et l’intervalle \(]1;l_1[\) n’est pas stable. Supposons cependant que \(\forall n,\ u_n \in\, ]1;l_1[\) : sur cet intervalle on a \(f(x) \leqslant x\), donc \((u_n)\) décroissante ; comme elle est minorée par \(1\), elle converge ; mais alors elle convergerait nécessairement vers \(l_1\), ce qui est impossible pour une suite décroissante issue de \(u_0 < l_1\)… nécessairement il existe \(n_0\) tel que \(u_{n_0} \notin\, ]1;l_1[\), ainsi \(u_{n_0} \in\, ]0;1]\) et nous sommes ramenés au cas (d).
(d) \(u_0 \in\, ]0;1]\) : alors \(u_1 \in\, ]-1;0]\), aux cas suivants.
(e) \(u_0 = -1\) ou \(0\) : la suite vaut \(-1, 0, -1, 0, \dots\). Cette suite périodique de période \(2\) n’a évidemment pas de limite.
(f) \(u_0 = l_2\) : la suite est clairement constante.
(g) \(u_0 \in\, ]-1;0[\,\setminus\{l_2\}\) : l’intervalle \(]-1;0[\) étant stable, on a \(u_n \in\, ]-1;0[\,\setminus\{l_2\},\ \forall n\). Si la suite converge, elle converge nécessairement vers \(l_2\) ; or \(|f'(l_2)| = |2l_2| = \sqrt5 - 1 > 1\) : ce point fixe est répulsif, ainsi \((u_n)\) ne converge pas. Pour obtenir une information qualitative sur le comportement asymptotique, nous étudions les deux sous-suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) : \(f\) étant décroissante sur \(]-1;0[\), ces deux sous-suites sont monotones. Si \(u_0 \in\, ]l_2;0[\) : comme \(f(]l_2;0[) = ]-1;l_2[\) et \(f(]-1;l_2[) = ]l_2;0[\), on déduit que \((u_{2n})\) est une suite de \(]l_2;0[\) et que \((u_{2n+1})\) est une suite de \(]-1;l_2[\). Et comme \(f(x) \geqslant x\) sur \(]-1;l_2[\) (i.e. \(f\circ f(x) \leqslant x\)) et \(f(x) \leqslant x\) sur \(]l_2;0[\) (i.e. \(f\circ f(x) \geqslant x\)), on obtient que \((u_{2n})\) croît et \((u_{2n+1})\) décroît ; la suite \((u_n)\) diverge. D’ailleurs, on étudie les points fixes de \(f\circ f\) : (\(f\) décroît, \(f\circ f\) croît sur \(]l_2;0[\)) ⟹ \((u_{2n}) \to 0\) et \((u_{2n+1}) \to -1\).
Détail de (g). On va démontrer que \(f\circ f \geqslant x\) pour \(x \in\, ]l_2;0[\) et \(f\circ f \leqslant x\) pour \(x \in\, ]-1;l_2[\). Considérons la fonction
\[g(x) = f\circ f(x) - x = (x^2-1)^2 - 1 - x = x^4 - 2x^2 - x = x(x^3 - 2x - 1) = x(x+1)(x^2 - x - 1).\]
Comme \(x < 0\) et \(x + 1 > 0\) pour \(x \in\, ]-1;0[\), et \(x^2 - x - 1 = f(x) - x < 0\) pour \(x \in\, ]l_2;l_1[\) (ses racines sont \(l_2, l_1\)) : \(g(x) \geqslant 0\) sur \(]l_2;0[\), et \(x^2 - x - 1 > 0\) pour \(x \in\, ]-1;l_2[\) ⟹ \(g(x) \leqslant 0\) sur \(]-1;l_2[\). ∎
(h) Il reste le cas \(u_0 \in\, ]-\infty;-1[\) : on observe alors que \(u_1 \in\, ]0;+\infty[\), ce qui nous ramène aux cas précédents.
On va trouver la racine de cette équation en utilisant la suite récurrente.
1. Prenons \(x = 2x^3 - 1\) en posant \(u_0 = 0\) : \(u_1 = -1,\ u_2 = -3,\ u_3 = -55,\dots\) Donc la suite \((u_n)\) diverge.
2. Prenons \(x = \sqrt[3]{\dfrac{x+1}{2}}\) en posant \(u_0 = 0\) : \(u_1 = 0{,}7937,\ u_2 = 0{,}9644,\ u_3 = 0{,}9944,\ u_4 = 0{,}9990,\ u_5 = 1{,}000,\ u_6 = 1{,}000\). Elle converge vers \(1\).
Pour la même fonction, on peut avoir des résultats différents avec les itérations différentes.
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-9）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| prolongement par continuité | 连续延拓 | |
| suite récurrente | 递推数列 | \(u_{n+1}=f(u_n)\) |
| ensemble stable | 稳定子集 | \(f(X)\subset X\) |
| point fixe / attractif / répulsif | 不动点 / 吸引的 / 排斥的 | \(|f'(l)|\lessgtr 1\) |
| vitesse exponentielle | 指数（收敛）速度 | \(|u_n-l|\le Ck^n\) |
| sous-suite | 子列 | \((u_{2n}), (u_{2n+1})\) |
| suite périodique de période 2 | 周期为 2 的周期数列 | |
| schéma / itération | 迭代格式 | 例 2.8/2.9 |
| minorée / majorée / monotope | 有下界 / 有上界 / 单调 |
I-10Dérivées d’ordre supérieur ; fonctions de classe \(C^n\)高阶导数、\(C^n\) 类函数及其运算
Soit \(f\) une fonction définie sur l’intervalle \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Si \(n \in \mathbb{N}\), on dit que \(f\) est \(n\) fois dérivable（n 次可导） sur \(I\) si 1° \(f\) est dérivable sur \(I\) ; 2° \(f'\) est dérivable sur \(I\) ; … ; 3° \(f^{(n-1)}\) est dérivable sur \(I\). Dans ce cas, on note cette dernière dérivée \(f^{(n)}\). En particulier, \(f^{(0)} = f\).
Si \(n \in \mathbb{N}\), on dit que \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(I\) si \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\). \(f\) est de classe \(C^\infty\) (lisse，光滑的), si \(f\) est de classe \(C^n\) pour tout entier \(n\). Notons \(C^n(I;\mathbb{R})\) l’ensemble des fonctions de classe \(C^n\) sur \(I\), \(C^\infty(I;\mathbb{R})\) celui des fonctions lisses, et
\[C^\infty \subset C^{n+1} \subset C^n \subset C^1 \subset C^0.\]Prop 2.9. \(f, g\) deux fonctions \(n\) fois dérivables ; \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) : \(\lambda f + \mu g\) est \(n\) fois dérivable et \((\lambda f + \mu g)^{(n)} = \lambda f^{(n)} + \mu g^{(n)}\).
Prop 2.10 (formule de Leibniz). \(f, g\) deux fonctions \(n\) fois dérivables sur \(I\) : \(fg\) est \(n\) fois dérivable et
\[(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}.\]Preuve（par récurrence / 归纳法）. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété énoncée. (1) \(n = 0\) : c’est vrai. (2) Supposons \(\mathcal{P}_n\) et \(f, g\) supposées \(n+1\) fois dérivables sur \(I\) : donc \(fg\) est \(n\) fois dérivable et \(\mathcal{P}_n\) permet d’écrire \((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}\), combinaison linéaire de produits de fonctions dérivables ; elle est donc dérivable, et par suite \(fg\) est \(n+1\) fois dérivable. On a
\[(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\big(f^{(k)}g^{(n-k+1)} + f^{(k+1)}g^{(n-k)}\big) = fg^{(n+1)} + \sum_{k=1}^{n}\left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] f^{(k)} g^{(n+1-k)} + f^{(n+1)}g,\]
et la relation de Pascal（Pascal 恒等式/二项式系数关系） \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}\) donne \((fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)}\), ce qui prouve \(\mathcal{P}_{n+1}\). ∎
Prop 2.11. Soit \(f : I \to \mathbb{R}\), \(g : J \to \mathbb{R}\) où \(J\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\), \(f(I) \subset J\), les deux fonctions étant \(n\) fois dérivables [resp. de classe \(C^n\)]. Alors \(g \circ f\) est \(n\) fois dérivable [resp. de classe \(C^n\)].
Preuve（récurrence sur \(n\)）. (1) \(n = 0\), c’est vrai. (2) Supposons \(\mathcal{P}_n\) et \(f : I \to J\), \(g : J \to \mathbb{R}\) supposées \(n+1\) fois dérivables avec \(f(I) \subset J\). Le résultat sur la dérivée d’une composée permet d’écrire que \(g\circ f\) est dérivable et \((g\circ f)' = f' \cdot (g' \circ f)\). Or \(g'\) et \(f'\) sont \(n\) fois dérivables ; par l’hypothèse de récurrence, la composée \(g' \circ f\) est \(n\) fois dérivable ; comme \(f'\) est \(n\) fois dérivable, la propriété précédente sur la dérivée \(n\)-ième d’un produit montre que \((g\circ f)'\) est \(n\) fois dérivable, donc \(g\circ f\) est \(n+1\) fois dérivable. Ce qui est \(\mathcal{P}_{n+1}\). ∎
Prop 2.12. Soit \(f : I \to J\) une bijection \(n\) fois dérivable [resp. de classe \(C^n\)] pour \(n \geqslant 1\), telle que sa dérivée ne s’annule pas. Alors sa fonction réciproque \(f^{-1}\) est \(n\) fois dérivable [resp. de classe \(C^n\)].
Preuve（récurrence sur \(n\)）. Le cas \(n = 1\) vient du théorème de dérivation de la fonction réciproque (Prop 1.7). Supposons \(\mathcal{P}_n\) et considérons une bijection \(f : I \to J\) \(n+1\) fois dérivable telle que \(f'\) ne s’annule pas. Alors \(f^{-1}\) est \(n\) fois dérivable et
\[(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}.\]
D’après le résultat qui précède, \(f' \circ f^{-1}\) est \(n\) fois dérivable, et la composée avec la fonction inverse \(h \mapsto 1/h\) l’est aussi ; ainsi \((f^{-1})'\) est \(n\) fois dérivable, ce qui montre que \(f^{-1}\) est \(n+1\) fois dérivable. Ce qui prouve \(\mathcal{P}_{n+1}\). ∎
Soit \(f : [a;b] \to \mathbb{R}\) continue. Si \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(]a;b[\) (pour \(n \in \mathbb{N}\)) et si
\[\forall k \in [\![1;n]\!], \quad \lim_{x\to a^+} f^{(k)}(x) \text{ existe et vaut } l_k,\]alors \(f\) est de classe \(C^n\) sur \([a;b]\) et \(\forall k = 1,\dots,n,\ f^{(k)}(a) = l_k\).
Preuve（récurrence sur \(n\)）. Pour \(n = 1\), il s’agit d’appliquer le théorème 2.4 en l’appliquant à \(f\) : on obtient ainsi que \(f\) est \(C^1\) sur \([a;b]\) et \(f'(a) = l_1\). Supposons le résultat vrai au rang \(n-1\) : si l’on applique l’hypothèse de récurrence à \(f'\) (classe \(C^{n-1}\) sur \(]a;b[\)), alors \(f'^{(k)}(a)\) existent pour \(k\) variant entre \(1\) et \(n\), d’où \((\ast)\) \(f^{(k)}\) est de classe \(C^{n}\)… \(\mathcal{P}_{n}\). ∎
\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \leqslant 0,\\ e^{-\frac{1}{x}}, & \text{si } x > 0.\end{cases}\) Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)（en fait, \(C^\infty\)）.
Preuve. Comme pour tout \(n \in \mathbb{N}\), nous avons \(\lim_{x\to -\infty\ (\text{i.e. } x\to 0^-)} f^{(n)}(x) = 0\), nous devons montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ \lim_{x\to 0^+} f^{(n)}(x) = 0\). À cette fin, montrons d’abord que pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\), il existe une fonction polynomiale \(P_n\) telle que
\[\forall x > 0, \quad f^{(n)}(x) = P_n\!\left(\frac1x\right) e^{-\frac1x}.\]
Récurrence sur \(n\) : pour \(n = 0\), la fonction \(P_0\) constante égale à \(1\) convient. Supposons le résultat vrai au rang \(n\) ; mais alors par dérivation, on obtient
\[\forall x > 0, \quad f^{(n+1)}(x) = -\frac{1}{x^2}\Big(P_n'\!\left(\frac1x\right) - P_n\!\left(\frac1x\right)\Big) e^{-\frac1x},\]
et en définissant le polynôme \(P_{n+1}(X) = -X^2\big(P_n'(X) - P_n(X)\big)\), on obtient bien le résultat au rang \(n+1\). Il reste à calculer la limite en \(0^+\) :
\[\lim_{x\to 0^+} f^{(n)}(x) = \lim_{x\to 0^+} P_n\!\left(\frac1x\right) e^{-\frac1x} = \lim_{y\to +\infty} P_n(y)\, e^{-y} = 0,\]
par croissance comparée（增长比较） des fonctions puissances et de l’exponentielle en \(+\infty\) ; donc toutes les dérivées se prolongent continûment en \(0\) par \(0\). ∎
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-10）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| dérivée d’ordre \(n\) ; \(n\) fois dérivable | \(n\) 阶导数；\(n\) 次可导 | \(f^{(n)}\) |
| classe \(C^n\) / \(C^\infty\) / fonction lisse | \(C^n\) 类 / 光滑（无穷次连续可导） | |
| formule de Leibniz (dérivée \(n\)-ième d’un produit) | 莱布尼茨公式（乘积高阶导数） | \((fg)^{(n)}=\sum\binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}\) |
| \(\binom{n}{k}\) (coefficients binomiaux ; relation de Pascal) | 二项式系数（Pascal 关系） | |
| croissance comparée | 增长比较 | \(P(y)e^{-y}\to0\ (y\to+\infty)\) |
| fonction plate (« plateau ») | 平坦函数 | 例 2.10 |
| prolongement de classe \(C^n\) | \(C^n\) 类延拓 | 命题 2.13 |
II-1Propriété de la fonction polynôme ; idée de Taylor多项式函数的性质与泰勒思想
〔图〕Le fichier original présente une série de figures : l’allure des fonctions polynômes de divers degrés, et l’effet de la variation des coefficients sur la courbe. Vient ensuite la planche :
« Approximation de la fonction \(e^x\) au voisinage de \(0\) par les fonctions polynômes. » 〔图〕« Représentation de la fonction exponentielle (en rouge) et du polynôme de Taylor d’ordre \(4\) au point \(0\) (en bleu). »
En analyse, le théorème de Taylor (ou formule de Taylor), du nom du mathématicien anglais Brook Taylor qui l’établit en 1715, montre qu’une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d’un point peut être approchée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Cette fonction polynôme est parfois appelée polynôme de Taylor（泰勒展式）.
Une fonction \(f\) dérivable en \(a \in I\) : alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe, noté \(f'(a)\). On a \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a) = o(1)\), i.e.
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a).\]📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-1）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| polynôme de Taylor | 泰勒多项式 | 系数由该点各阶导数决定 |
| développement /展式 | 展开式 | |
| approximation au voisinage de \(0\) | 在 \(0\) 邻域内的逼近 | |
| petit o : \(o(x-a)\) | 高阶无穷小记号 | \(\frac{o(x-a)}{x-a}\to0\) |
II-2Formule de Taylor-Young泰勒–杨（带 Peano 余项）公式及两种证明
\(I\) : un intervalle réel ; \(a\) : un élément de \(I\) ; \(E\) : un espace vectoriel normé（赋范向量空间） ; \(n\) : un entier naturel ; \(f\) : une fonction de \(I\) dans \(E\), \(n\) fois dérivable en \(a\).
Si \(f\) est une fonction de classe \(C^n\) sur \(I\), il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) telle que :
\[\forall x \in I, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + (x-a)^n \varepsilon(x), \qquad \lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0.\]Ce qui s’écrit aussi, avec la notation « petit o » :
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\big((x-a)^n\big).\]Définisons \(T_n(f;a;x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\). Soit \(\mathcal{P}_n\) : « \(f\) de classe \(C^n\) sur \(I \Rightarrow f(x) = T_n(f;a;x) + (x-a)^n\varepsilon(x)\), \(\lim_{x\to a}\varepsilon = 0\) ».
1° Pour \(n = 1\), c’est vrai (définition de la dérivée). 2° Supposons \(\mathcal{P}_n\). Comme \(T_{n+1}'(f;a;x) = T_n(f';a;x)\) et \(f'\) est de classe \(C^n\), d’après la règle de L’Hôpital :
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x) - T_{n+1}(f;a;x)}{(x-a)^{n+1}} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x) - T_n(f';a;x)}{(n+1)(x-a)^{n}} = 0,\]d’où le résultat. Ce qui est \(R_n(x) = (x-a)^n \varepsilon(x)\) avec \(\lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0\). On l’appelle le reste de \(f\)（余项）.
Raisonnons par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 1\) signifie que \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)\), i.e. \(f\) est dérivable en \(a\) et sa dérivée vaut \(f'(a)\). Supposons la formule vraie au rang \(n\) et prenons \(f\) vérifiant l’hypothèse au rang \(n+1\). Notons
\[R(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n+1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k .\]Comme \(f\) est de classe \(C^{n+1}\), d’après l’hypothèse appliquée à \(f'\) : \(R'(x) = o\big((x-a)^n\big)\). Ainsi pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que
\[\forall x \in\, ]a-\delta, a+\delta[ \cap I, \qquad |R'(x)| \leqslant \varepsilon |x-a|^n .\]Prenons \(t \in\, ]a-\delta; a+\delta[\cap I\) ; on a ainsi \(\forall t \in [a; x],\ |R'(t)| \leqslant \varepsilon|x-a|^n\). Si \(x \geqslant a\) (ou \(x \leqslant a\)), par application de l’IAF, on obtient
\[|R(x) - R(a)| \leqslant \varepsilon\,|x-a|^{n+1},\]et comme \(R(a) = 0\), on vient de montrer que \(R(x) = o\big((x-a)^{n+1}\big)\). D’où le résultat. ∎
Supposons que \(n \geqslant 1\). Si \(f\) est une fonction de classe \(C^{n-1}\) sur \(I\) et qui possède une dérivée \(n\)-ième en \(a\), alors il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) telle que
\[\forall x \in I, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + (x-a)^n\varepsilon(x), \qquad \lim_{x\to a}\varepsilon(x) = 0.\]📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-2）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| formule de Taylor-Young | 泰勒–杨公式（带 Peano 余项） | 局部展开、用于计算 |
| polynôme (développement) de Taylor-Young, \(T_n\) | 泰勒–杨多项式 | \(\sum f^{(k)}(a)(x-a)^k/k!\) |
| reste (de Taylor), terme négligeable | 余项 / 可忽略项 | \(R_n = o((x-a)^n)\) |
| version standard / version forte | 标准版 / 强版本 | 强版只要求 \(a\) 处存在 \(n\) 阶导数 |
| IAF (inégalité des accroissements finis) | 有限增量不等式 | 证法 2 的工具 |
| espace vectoriel normé \(E\) | 赋范向量空间 |
II-3Formule et inégalité de Taylor-Lagrange泰勒–拉格朗日公式（精确余项）与不等式；Maclaurin 展开表
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^{n+1}\) sur \(I\) ; on a, pour tout \(x \in I\) :
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \qquad \text{où } c \in\, ]a;x[ \ (\text{ou } ]x;a[).\]La formule de Taylor-Lagrange est une conséquence directe du théorème de Rolle.
Pour tout \(x\) dans \(I\), on introduit la fonction \(g\) définie (en la variable \(y\)) par
\[g(y) = f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^k - C(x-y)^{n+1},\]où \(C\) est choisi de sorte que \(g(a) = 0\), c’est-à-dire
\[f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = C(x-a)^{n+1}.\]La fonction \(g\) est dérivable sur \(I\) (somme de fonctions dérivables), et par construction \(g(a) = g(x) = 0\). Le théorème de Rolle affirme qu’il existe \(c\) entre \(a\) et \(x\) tel que \(g'(c) = 0\) ; or
\[g'(y) = -\frac{f^{(n+1)}(y)}{n!}(x-y)^n + C(n+1)(x-y)^n .\]Il vient \(\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n = C(n+1)(x-c)^n\), soit \(C = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\). Ce qui implique
\[f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \qquad\blacksquare\]Sur l’intervalle \(]a;x[\ (x \leqslant b)\), posons \(\varphi(t) = (t-a)^{n+1}\) ; alors on a
\[\varphi(a) = \varphi'(a) = \dots = \varphi^{(n)}(a) = 0, \qquad \varphi^{(n+1)} = (n+1)!,\]et pour le reste \(R_n(x) = f(x) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\) :
\[R_n(a) = R_n'(a) = \dots = R_n^{(n)}(a) = 0, \qquad R_n^{(n+1)}(x) = f^{(n+1)}(x).\]En appliquant le TAF (de Cauchy) sur le segment \([a;x]\) de proche en proche :
\[\frac{R_n(x)}{\varphi(x)} = \frac{R_n(x)-R_n(a)}{\varphi(x)-\varphi(a)} = \frac{R_n'(\theta_1)}{\varphi'(\theta_1)} = \dots = \frac{R_n^{(n+1)}(\theta)}{\varphi^{(n+1)}(\theta)} = \frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!},\]où \(a < \theta_n < \dots < \theta_1 < \theta < \dots < x\) : on a le résultat (avec \(c = \theta\)).
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^{n+1}\) sur \(I\). Si \(M\) est un majorant de \(|f^{(n+1)}|\) sur le segment d’extrémités \(a\) et \(x\)（以 a、x 为端点的线段）, alors
\[\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \right| \leqslant M\,\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.\]D’après la formule de Taylor-Lagrange, on en a tout de suite.
(Formule de Maclaurin)
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n}),\] \[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}),\] \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n),\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n),\] \[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n).\]📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-3）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| formule de Taylor-Lagrange | 泰勒–拉格朗日公式 | 余项取某内点处的导数值 |
| reste de Lagrange | 拉格朗日型余项 | \(\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) |
| inégalité de Taylor-Lagrange | 泰勒–拉格朗日不等式 | 误差估计 |
| formule de Maclaurin | 麦克劳林公式（\(a=0\)） | |
| segment d’extrémités \(a\) et \(x\) | 以 \(a,x\) 为端点的线段 | |
| majorant \(M\) de \(|f^{(n+1)}|\) | 上界 | |
| développement binomial \((1+x)^\alpha\) | 广义二项展开 |
II-4Premières applications des formules de Taylor初步应用：极限、高阶导数、误差估计、\(e^x\) 级数、极值
Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre \(5\) pour \(\sin\) et \(\operatorname{sh}\) en \(0\), et en déduire \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x + \operatorname{sh} x - 2x}{x^5}\).
Réponse. Les fonctions \(\sin\) et \(\operatorname{sh}\) étant de classe \(C^n\) sur \(\mathbb{R}\), on peut leur appliquer Taylor-Young à l’ordre \(5\) :
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + x^5\varepsilon_1(x), \qquad \operatorname{sh} x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + x^5\varepsilon_2(x),\]avec \(\lim_{x\to 0}\varepsilon_1(x) = \lim_{x\to 0}\varepsilon_2(x) = 0\). On a alors
\[\frac{\sin x + \operatorname{sh} x - 2x}{x^5} = \frac{2x^5}{5!} + \varepsilon_1(x) + \varepsilon_2(x) \xrightarrow[x\to 0]{} \frac{2}{120},\]ce qui donne \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x + \operatorname{sh} x - 2x}{x^5} = \frac{1}{60}\).
\(f \in C^n\) sur \(]-1;1[\) ; d’après la formule de Taylor-Young à l’ordre \(n\), on a
\[f(x) = \operatorname{Arctan} x = \sum_{k=0}^{n+1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^{n+1}), \qquad f(0) = 0, \quad f'(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad f'(0) = 1.\]Pour obtenir la dérivée \(n\)-ième de \(f\), considérons l’égalité \((1+x^2)f'(x) = 1\). En appliquant la formule de Leibniz, on a
\[(1+x^2)f^{(n+2)}(x) + 2n x f^{(n+1)}(x) + n(n-1) f^{(n)}(x) = 0,\]puisque, en \(0\) : \(\;f^{(n+2)}(0) = -n(n-1) f^{(n)}(0),\ n \in \mathbb{N}\). On a alors
\[f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & \text{si } n = 2k,\\ (-1)^k (2k)!, & \text{si } n = 2k+1;\end{cases}\]on en déduit que
\[\arctan x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} + o(x^{2n+2}), \qquad \text{i.e. } \ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}).\]Par la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre \(3\) en \(0\) : \(\forall x \in \mathbb{R},\ \sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{\sin(c)}{4!}\,x^4\), où \(c\) est entre \(0\) et \(x\) (car \(f^{(4)} = \sin\)).
Or \(|R_3| = \left|\dfrac{\sin(c)}{4!}x^4\right| \leqslant \dfrac{|x|^4}{24}\) ; on obtient
\[\forall x \in \mathbb{R}, \qquad \left|\sin x - x + \frac{x^3}{3!}\right| \leqslant \frac{x^4}{4!}.\]Soit \(x\) un réel donné. 1° Montrer que la fonction \(\exp\) est bornée sur le segment d’extrémités \(0\) et \(x\). 2° En déduire qu’il existe \(M_x \in \mathbb{R}\) tel que
\[\forall n \in \mathbb{N}, \qquad \left|e^x - \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right| \leqslant M_x\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}.\]Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0\) et en déduire \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} = e^x\).
Réponse. 1. La fonction \(\exp\) est continue sur le segment d’extrémités \(0\) et \(x\) ; elle y est donc bornée, majorée par \(M_x = \sup(e^x, 1)\). 2. \(\exp\) étant de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), on lui applique l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre \(n\) entre \(0\) et \(x\) ; comme \(\exp^{(n+1)} = \exp\),
\[\left|e^x - \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right| \leqslant M_x\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}.\]Pour \(x \in \mathbb{R}_+\), la suite \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\) est croissante ; montrons par récurrence qu’elle est majorée par \(e^x\) : posons \(g(x) = e^x - \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\), avec \(g(0) = 1 > 0\) et \(g'(x) = e^x - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!} \geqslant 0\) (au rang \(n-1\)) ; donc \(g(x) \geqslant 0\), i.e. \(S_n \leqslant e^x\). La suite \((S_n)\) converge. Sa convergence donne
\[\lim_{n\to\infty} e^x\,\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} (S_{n+1}-S_n)\,e^x = 0, \qquad \text{c.-à-d. } \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0;\]l’inégalité ci-dessus entraîne alors \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(e^x - \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right) = 0\).
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur \(I\) et \(a \in I\) tel que \(f'(a) = 0,\ f''(a) > 0\). En utilisant une formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\) en \(a\), montrer que \(f(x) - f(a)\) est positive au voisinage de \(a\). Comment peut-on exprimer cela en terme d’extremum ?
Réponse. \(f(x) = f(a) + f'(a)\dfrac{(x-a)^2}{2!} + o\big((x-a)^2\big)\), ce qui donne
\[f(x) - f(a) = (x-a)^2\left[\frac{f''(a)}{2} + o(1)\right].\]Comme \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f''(a)}{2} + o(1) = \frac{f''(a)}{2} > 0\), la fonction \(x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}\) est positive au voisinage de \(a\), ce qui implique que \(f(x) - f(a)\) est positive au voisinage de \(a\). Par suite, la fonction \(f\) possède un minimum local en \(a\).
Conclusion. \(\;f''(a) > 0 \Rightarrow f\) possède un minimum local en \(a\) ; \(f''(a) < 0 \Rightarrow f\) possède un maximum local en \(a\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-4）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| forme \(\frac00\) résolue par un DL | 用展开解决的未定式 | |
| relation de récurrence sur les dérivées \(n\)-ièmes | 高阶导数的递推关系 | arctan 例 |
| série exponentielle / somme partielle \(S_n\) | 指数级数 / 部分和 | |
| majorée / croissante / converge | 有上界 / 递增 / 收敛 | 单调有界原理 |
| minimum (maximum) local | 局部极小（极大） | 二阶充分判别 |
| factorielle \(n!\) | 阶乘 |
II-5Développements limités : définitions, unicité, généralités渐近展开：定义、唯一性、奇偶、\(x_0\) 处、左右、无穷远
Une fonction \(f : D \to \mathbb{R}\) définie au voisinage de \(0\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) (noté \(DL_n(0)\)) s’il existe des réels \((a_0, a_1, \dots, a_n)\) tels que
\[\forall x \in D, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + o(x^n).\]Le polynôme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k x^k\) s’appelle partie régulière du \(DL_n(0)\) de \(f\)（\(f\) 在 \(0\) 点 \(n\) 阶展开的正规项）.
\(g : \mathbb{R}\setminus\{1\} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\) admet un \(DL_n(0)\). Réponse. \(\forall x \in \mathbb{R}\setminus\{1\},\ \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} = \sum_{k=0}^{n} x^k\) permet d’écrire
\[\forall x \in \mathbb{R}\setminus\{1\}, \qquad \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n} x^k + \frac{x^{n+1}}{1-x}, \qquad \text{car } \lim_{x\to 0}\frac{x^{n+1}}{(1-x)x^n} = 0,\]i.e. \(\dfrac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n}x^k + o(x^n)\).
En utilisant le résultat précédent, calculer un \(DL_{2n}(0)\) de la fonction \(h(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\) : en remplaçant \(x\) par \(x^2\) — avec le signe adéquat — on obtient pour tout \(x\) réel
\[\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k\cdot x^{k}\Big|_{x\to x^2} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k x^{2k} + o(x^{2n}).\]Si \(f\) est une fonction définie au voisinage de \(0\) pour laquelle il existe \((a_0,\dots,a_n)\) et \((b_0,\dots,b_n)\) deux \((n+1)\)-listes de réels vérifiant（现在分词，表示同时满足）
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + o(x^n) \qquad \text{et} \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} b_k x^k + o(x^n),\]alors on a \((a_0,\dots,a_n) = (b_0,\dots,b_n)\).
Preuve (par l’absurde 反证法). Par hypothèse, \(\forall x \in D,\ \sum a_k x^k + o(x^n) = \sum b_k x^k + o(x^n)\). Pour montrer \((a_0,\dots,a_n) = (b_0,\dots,b_n)\), supposons \(p = \min\{k \in [\![0;n]\!]\mid a_k \neq b_k\}\)（双方括号表示从 \(0\) 到 \(n\) 遍历取值）. Pour \(x \in D\setminus\{0\}\) :
\[\underbrace{\sum_{k=p}^{n} a_k x^{k-p}}_{\to a_p} + \frac{o(x^n)}{x^p} = \underbrace{\sum_{k=p}^{n} b_k x^{k-p}}_{\to b_p} + \frac{o(x^n)}{x^p};\]
en divisant par \(x^p\), on a \(a_p + (a_{p+1}-b_{p+1})x + \dots + o(x) = b_p + \dots\). En faisant \(x\) tendre vers \(0\) dans l’égalité \((\ast)\), on a \(a_p = b_p\), ce qui est en contradiction avec la définition de l’entier \(p\). ∎
Soit \(f\) une fonction admettant au voisinage de \(0\) un \(DL_n\) dont la partie régulière est \(P(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k x^k\) :
- si \(f\) est paire, alors \(P(x)\) ne contient que des puissances paires de \(x\) ;
- si \(f\) est impaire, alors \(P(x)\) ne contient que des puissances impaires de \(x\).
Preuve. 1. Si \(f\) est paire, alors \(f(-x) = f(x)\) ; on a \(\forall x \in D,\ f(x) = f(-x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k x^k + o(x^n)\). D’après la proposition de l’unicité du \(DL_n\), \(\forall k \in [\![0;n]\!],\ a_k = (-1)^k a_k\), donc \(P\) ne contient que des puissances paires. 2. Si \(f\) est impaire, \(f(-x) = -f(x)\) de même : \(a_k = (-1)^{k+1} a_k\), donc \(P\) ne contient que des puissances impaires. ∎
Réponse. Il suffit de prendre le polynôme à l’ordre \(3\) pour \(\ln(1+u)\) et l’ordre \(6\) pour \(\cos x\) (ordre \(4\) suffit en fait) :
\[\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3) \quad (\ast), \qquad \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^6).\]En remplaçant \(u\) par \(\cos x - 1\) dans (\(*\)) (on a bien \(u \to 0\)) :
\[\ln(\cos x) = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}\right) - \frac12\left(\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24}\right) + \frac13\left(-\frac{x^6}{8}\right) + o(x^6),\]soit finalement
\[\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45} + o(x^6).\]Si \(x \in \left]0;\frac{\pi}{2}\right[\), \(\sin x > 0\), de sorte que la fonction proposée est bien définie sur un voisinage pointé（去心邻域） de \(\frac{\pi}{2}\), et de plus
\[(\sin x)^{\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}} = e^{\frac{1}{x-\pi/2}\ln \sin x}.\]Quand \(x \to \frac{\pi}{2}\), \(\sin x \to 1\), donc
\[\ln \sin x \sim \sin x - 1 = -\big(1 - \cos(\tfrac{\pi}{2} - x)\big) \sim -\frac{(\frac{\pi}{2}-x)^2}{2} = -\frac{(2x-\pi)^2}{8},\]donc \(\dfrac{\ln\sin x}{x - \frac{\pi}{2}} \to 0\), et enfin \((\sin x)^{\frac{1}{x-\pi/2}} = e^{\frac{\ln \sin x}{x-\pi/2}} \to e^0 = 1\).
Calcul du DL à un certain ordre（利用 \(\dfrac{1}{1-x}\) 的展开计算） :
\[\frac{x^3}{1+x^6} = x^3\cdot\frac{1}{1-(-x^6)} = x^3\big(1 - x^6 + x^{12} - x^{18} + \dots\big) = \sum_{l\geqslant 0} (-1)^l x^{3+6l}.\]Il s’agit d’identifier ce développement avec la formule de Taylor :
\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots\]Par unicité des DL, en identifiant les coefficients devant \(x^n\), on trouve
\[\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \begin{cases} (-1)^l, & \text{si } n = 3 + 6l,\\ 0, & \text{sinon.}\end{cases}\]Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\) et \(f : D \to \mathbb{R}\) définie au voisinage de \(x_0\). Posons \(\Delta = \{x - x_0 \mid x \in D\}\) et \(g\) définie sur \(\Delta\) par \(\forall h \in \Delta,\ g(h) = f(x_0 + h)\). La fonction \(f\) admet un \(DL_n(x_0)\) si la fonction \(g\), définie au voisinage de \(0\), possède un \(DL_n(0)\) : c’est-à-dire s’il existe une \((n+1)\)-liste de réels \((a_0,\dots,a_n)\) telle que
\[\forall h \in \Delta, \qquad f(x_0 + h) = \sum_{k=0}^{n} a_k h^k + o(h^n).\]En utilisant un \(DL_3(0)\) de \(\dfrac{1}{1+u}\), donner un \(DL_3(2)\) de \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \dfrac1x\). On a vu que \(u \mapsto \dfrac{1}{1-u}\) a un \(DL_3(0)\) :
\[\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + u^3\varepsilon(u), \qquad \lim_{u\to 0}\varepsilon(u) = 0.\]Si pour \(x\) on pose \(x = 2 + h\), alors
\[f(2+h) = \frac{1}{2+h} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 + \frac{h}{2}} = \frac12\left(1 - \frac{h}{2} + \frac{h^2}{4} - \frac{h^3}{8} + o(h^3)\right),\]soit
\[f(2+h) = \frac{1}{2} - \frac{h}{4} + \frac{h^2}{8} - \frac{h^3}{16} + o(h^3),\]ce qui, en revenant à \(x\), donne
\[\frac1x = \frac12 - \frac{x-2}{4} + \frac{(x-2)^2}{8} - \frac{(x-2)^3}{16} + o\big((x-2)^3\big).\]Notons que dans l’expression précédente, il ne faut surtout pas développer les termes \((x-2)\), \((x-2)^2\), \((x-2)^3\) !
Si \(f\) est une fonction de classe \(C^n\) au voisinage de \(x_0\), alors la formule de Taylor-Young prouve que cette fonction possède un \(DL_n(x_0)\) dont la partie régulière est
\[\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.\]Si \(f\) admet, au voisinage de \(x_0\), un développement limité à l’ordre \(n\) dont la partie régulière est \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k(x-x_0)^k\), alors
\[f(x) - \sum_{k=0}^{n-1} a_k (x-x_0)^k = O\big((x-x_0)^n\big);\]inversement si, en \(x_0\), la fonction \(f\) vérifie une relation du type \(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k (x-x_0)^k + O\big((x-x_0)^n\big)\), alors elle admet au voisinage de \(x_0\) un développement limité à l’ordre \(n-1\) dont la partie régulière est \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k (x-x_0)^k\).
Soit \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction définie au voisinage d’un point \(x_0\) de l’intervalle \(I\) que l’on suppose ne pas être une borne de \(I\). On dit que \(f\) admet un développement limité à droite (resp. à gauche) à l’ordre \(n\) au voisinage de \(x_0\) si la restriction de \(f\) à \(I \cap [x_0;+\infty[\) (resp. à \(I \cap\,]-\infty;x_0]\)) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(x_0\).
Remarque (1). Si \(f\) admet un \(DL_n(x_0)\), alors en ce point elle admet un \(DL_n(x_0)\) à droite et à gauche, et les coefficients de ces derniers \(DL\) sont égaux à ceux du \(DL_n(x_0)\) de \(f\).（函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点有 \(n\) 阶展开，则在 \(x_0\) 点一定有左、右展开）
Remarque (2). Réciproquement, si \(f\) possède un développement limité à droite et à gauche en \(x_0\) à l’ordre \(n\) et si les coefficients de ces derniers développements limités sont égaux, alors \(f\) possède un développement limité à l’ordre \(n\) en \(x_0\). En effet, on recolle \(\varepsilon(x) = \begin{cases} \varepsilon_1(x), & x \geqslant x_0,\\ \varepsilon_2(x), & x \leqslant x_0,\end{cases}\) qui tend vers \(0\) en \(x_0\). Donc si les parties régulières des \(DL\) gauche et droite sont différentes, on peut en déduire que \(f\) ne possède pas de \(DL_n(x_0)\).
Montrer que la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{1+|x|^3}\) n’admet pas de développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\). Possède-t-elle un développement limité à l’ordre \(2\) en \(0\) ?
Réponse. \(f\) admet un \(DL_3(0)\) à droite puisque
\[f|_{\mathbb{R}_+}(x) = \frac{1}{1+x^3} = 1 - x^3 + o(x^3),\]et à gauche puisque \(f|_{\mathbb{R}_-}(x) = \dfrac{1}{1-x^3} = 1 + x^3 + o(x^3)\). Comme les parties régulières de ces développements sont différentes, on en déduit que \(f\) ne possède pas de développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\).
Toutefois, comme on a \(f(x) = 1 + o(x^2)\), la fonction \(f\) possède un \(DL_2(0)\) : \(f(x) = 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 + o(x^2)\).
这个例题用来说明：函数 \(f\) 在一点有 \(n\) 阶展开，并不要求 \(f\) 在该点 \(n\) 次可导；由前页定理已知：如果 \(f\) 在一点有 \(n\) 阶导数（\(C^n\)），则一定会有 \(n\) 阶展开。此处 \(f\) 在 \(0\) 有一、二阶导数（都为 \(0\)），但三阶导数不存在（左右三阶展开系数 \(\mp1\) 不同）。
Soit \(f : D \to \mathbb{R}\) une fonction définie au voisinage de \(+\infty\). On pose \(\Delta = \left\{u = \dfrac1x \ \Big|\ x \in D \setminus \mathbb{R}_{\text{petit}}\right\}\)…formellement : on appelle \(g\) la fonction définie sur \(\Delta\) par \(\forall u \in \Delta,\ g(u) = f\!\left(\dfrac1u\right)\). La fonction \(g\) est alors définie au voisinage de \(0\). Elle possède un \(DL_n(0)\) ssi il existe \((a_0,\dots,a_n)\) et \(\varepsilon(u)\) telles que
\[f\!\left(\frac1u\right) = \sum_{k=0}^{n} a_k u^k + u^n\varepsilon(u), \qquad \lim_{u\to 0^+}\varepsilon(u) = 0,\]c’est-à-dire, en revenant à \(x\) : \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{x^k} + o\!\left(\frac{1}{x^n}\right)\) au voisinage de \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)).
Définition officielle. La fonction \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) si la fonction \(g = f(1/u)\) possède un développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) à droite (resp. à gauche) ; i.e. s’il existe \((a_0,\dots,a_n)\) tels que, au voisinage de \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)),
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{x^k} + o\!\left(\frac{1}{x^n}\right).\]Remarque. On dit que \(f\) admet un développement limité à l’infini si \(g\) possède un développement limité en \(0\) : elle est alors définie au voisinage de \(+\infty\) et au voisinage de \(-\infty\) et y admet un développement limité.
Développement limité à l’ordre \(2\) au voisinage de \(+\infty\) de \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x) = \dfrac{x}{x-1}\). Réponse. Si pour \(x \in \mathbb{R}^*\) on pose \(u = \dfrac1x\), on a
\[f(x) = \frac{1/u}{1/u - 1} = \frac{1}{1-u}.\]La fonction \(u \mapsto \dfrac{1}{1-u}\) a pour développement limité à l’ordre \(2\) en \(0\) : \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3\varepsilon(u)\), avec \(\lim_{u\to 0}\varepsilon = 0\). Ce qui, en revenant à la variable \(x\), donne
\[f(x) = 1 + \frac1x + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}\varepsilon_1(x), \qquad \text{avec } \varepsilon_1(x) = \frac1x \varepsilon\!\left(\frac1x\right) \to 0,\]i.e. \(f(x) = 1 + \dfrac1x + \dfrac{1}{x^2} + o\!\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\) au voisinage de \(+\infty\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-5）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| développement limité (\(DL_n\)) | （带 Peano 余项的）泰勒展开 / 渐近展开 | 中国教材常称「麦克劳林/Taylor 公式带 Peano 型余项」 |
| partie régulière | 正则部分（展开多项式） | |
| unicité du DL | 展开的唯一性 | 比较系数合法性的根据 |
| pair / impair | 偶 / 奇（函数） | 展开只含偶/奇次幂 |
| voisinage pointé | 去心邻域 | |
| DL à droite / à gauche | 右 / 左展开 | |
| DL au voisinage de \(+\infty\), de l’infini | 正无穷远 / 无穷远处的展开 | 按 \(1/x\) 的幂 |
| \(O((x-x_0)^n)\) | 大 O 记号 | 与 \(O\) 记号的等价刻画 |
II-6Dérivabilité et développement limité可导性与展开的相互关系（\(DL_0, DL_1, DL_2\)）
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(x_0\) et admettant une limite \(l\) en \(x_0\). En définissant la fonction \(\varepsilon\) par \(\forall x \in D,\ \varepsilon(x) = f(x) - l\), on obtient
\[\forall x \in D, \qquad f(x) = l + \varepsilon(x), \qquad \lim_{x\to x_0}\varepsilon(x) = 0.\]La fonction \(f\) admet donc un \(DL_0(x_0)\).
La réciproque. Soit \(f\) une fonction possédant un \(DL_0(x_0)\), pour laquelle on peut donc trouver un réel \(a_0\) et une fonction \(\varepsilon\) vérifiant \(f(x) = a_0 + \varepsilon(x)\) et \(\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x) = 0\). Alors \(f\) possède en \(x_0\) une limite égale à \(a_0\). Si \(x_0 \in D\), la fonction \(f\) est continue en \(x_0\) ; si \(f\) n’est pas définie en \(x_0\), on peut prolonger \(f\) par continuité en posant \(f(x_0) = a_0\).
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(x_0\). En définissant la fonction \(\varepsilon\) par
\[\forall x \in D\setminus\{x_0\}, \qquad \varepsilon(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0), \qquad \varepsilon(x_0) = 0,\]on obtient \(\forall x \in D,\ f(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + (x-x_0)\varepsilon(x)\) et \(\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x) = 0\) : la fonction \(f\) admet donc un \(DL_1(x_0)\).
La réciproque. Soit \(f\) admettant un \(DL_1(x_0)\) : \(\forall x \in D,\ f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + (x-x_0)\varepsilon(x)\), \(\lim\varepsilon = 0\). Quitte à prolonger \(f\) par continuité en posant \(f(x_0) = a_0\), il est alors évident que
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = a_1,\]c’est-à-dire que \(f\) est dérivable en \(x_0\) et que \(f'(x_0) = a_1\).
Si \(f\) est une fonction de classe \(C^n\) au voisinage de \(x_0\), alors la formule de Taylor-Young à l’ordre \(n\) montre que \(f\) possède un \(DL_n(x_0)\). La réciproque à ceci est fausse : une fonction définie en \(x_0\) peut admettre un \(DL_2(x_0)\) et ne pas être deux fois dérivable en \(x_0\). La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = x + x^3 \sin\!\left(\frac1x\right) \ (\text{si } x \neq 0), \qquad f(0) = 0\]on a \(\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = x + x^2 \varepsilon(x)\) avec \(\varepsilon(x) = x\sin\frac1x\) (si \(x\ne0\)) et \(\varepsilon(0) = 0\), et donc \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x) = 0\) : \(f\) possède un \(DL_2(0) = x\).
Remarque（关于上面的例题） \(f(x) = x + x^3\sin\frac1x\) 在 \(0\) 点的一阶导数存在：\(f'(x) = 1 + 3x^2\sin\frac1x - x\cos\frac1x\)（\(x\neq0\)），\(f'(0) = 1\)。但是在 \(0\) 点不存在二阶导数：由 \(\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x} = 3x\sin\dfrac1x - \cos\dfrac1x\) 在 \(x\to0\) 时极限不存在。从而 \(f\) 在 \(0\) 的二阶导数不存在，但在 \(0\) 点有二阶展开。
En revanche, si on sait que la fonction est de classe \(C^n\) et si on en connaît un développement limité en \(x_0\), alors, grâce à l’unicité du développement limité, on peut en déduire les valeurs des dérivées en \(x_0\). Par exemple, si l’on sait que le développement limité de \(\tan\) à l’ordre \(5\) en \(0\) est
\[\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^6),\]comme la fonction \(\tan\) est de classe \(C^\infty\) au voisinage de \(0\), elle y possède un développement limité à l’ordre \(5\) et on a donc
\[\frac{\tan^{(k)}(0)}{k!} = (\text{coefficient de } x^k \text{ dans le DL}), \qquad \text{即 } \tan^{(k)}(0) = k!\,a_k.\]如果已有函数 \(f\) 在一点的展开式，并且函数 \(f\) 是充分光滑的（\(C^n\)），我们就可以通过展开式的系数去确定函数的各阶导数（见上例）。
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-6）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| \(DL_0(x_0)\) ⟺ limite / continuité | 零阶展开 ⟺ 极限（连续） | |
| \(DL_1(x_0)\) ⟺ dérivabilité | 一阶展开 ⟺ 可导 | |
| \(DL_n\) sans dérivée d’ordre \(n\) | 有 \(n\) 阶展开但不可 \(n\) 次求导 | 反例 \(x+x^3\sin(1/x)\) |
| coefficient du DL / comparaison de coefficients | 展开系数 / 比较系数 | 反求 \(f^{(k)}(x_0)=k!a_k\) |
| prolongement par continuité | 连续延拓 |
II-7Opérations sur les développements limités展开的运算：线性组合与乘积、商、复合
Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\), \(f\) et \(g\) deux applications de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) admettant \(DL_n(0)\) qui s’écrivent
\[f(x) = P(x) + o(x^n) \qquad \text{et} \qquad g(x) = Q(x) + o(x^n),\]où \(P, Q\) sont les parties régulières. Si \(\lambda, \mu\) sont deux scalaires, alors les fonctions \(\lambda f + \mu g\) et \(fg\) admettent \(DL_n(0)\) qui s’écrivent
\[\lambda f(x) + \mu g(x) = \lambda P(x) + \mu Q(x) + o(x^n), \qquad f(x)g(x) = R(x) + o(x^n),\]où \(R\) est le polynôme obtenu en ne gardant, dans le produit \(PQ\), que les termes de degré inférieur ou égal à \(n\).
性质中 \(R(x)\) 表示由多项式 \(P(x), Q(x)\) 相乘后，所有次数不高于 \(n\) 的项所组成。
Preuve. Par hypothèse, il existe des fonctions \(\varepsilon_1\) et \(\varepsilon_2\) définies sur \(D\) telles que \(\forall x \in D,\ f(x) = P(x) + x^n\varepsilon_1(x)\), \(\lim_{x\to0}\varepsilon_1 = 0\), et de même pour \(g\). En posant \(\varepsilon = \lambda\varepsilon_1 + \mu\varepsilon_2\), on a \(\lambda f + \mu g = \lambda P + \mu Q + x^n\varepsilon\) avec \(\lim\varepsilon = 0\), ce qui montre que \(\lambda f + \mu g\) admet \(\lambda P + \mu Q\) comme \(DL_n(0)\). En effectuant le produit :
\[f(x)g(x) = P(x)Q(x) + x^n\big(P(x)\varepsilon_2(x) + Q(x)\varepsilon_1(x)\big) + x^{2n}\varepsilon_1(x)\varepsilon_2(x).\]
Par définition de \(R\), il existe un polynôme \(T\) tel que \(P(x)Q(x) = R(x) + x^{n+1}T(x)\). Ce qui donne \(f(x)g(x) = R(x) + x^n \varepsilon(x)\) avec
\[\varepsilon(x) = x T(x) + P(x)\varepsilon_2(x) + Q(x)\varepsilon_1(x) + x^n\varepsilon_1(x)\varepsilon_2(x) \to 0,\]
on en déduit que la fonction \(fg\) admet \(R\) comme développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\). ∎
1. Calculons le \(DL_3(0)\) de \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x) = \dfrac{e^x}{1-x}\). Les fonctions \(x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\) et \(x \mapsto e^x\) admettent pour \(DL_3(0)\)
\[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3), \qquad e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3),\]ce qui donne, en multipliant et en ne gardant que les degrés \(\leqslant 3\), le \(DL\) de \(f\) à l’ordre \(3\) :
\[f(x) = 1 + 2x + \frac{5}{2}x^2 + \frac{13}{6}x^3 + o(x^3).\]2. Calculons le \(DL_3(0)\) de \(g\) définie sur \(]-1;+\infty[\) par \(g(x) = \dfrac{e^x}{\sqrt{1+x}}\). On a
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad (1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{5x^3}{16} + o(x^3),\]ce qui donne le \(DL_3(0)\) de \(g\) :
\[g(x) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{x^3}{48} + o(x^3).\]3. En utilisant le \(DL_4(0)\) de \(\sin\) et le \(DL_4(0)\) de \(\cosh\), donner le \(DL_6(0)\) de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (1 - \cosh x)\sin x\).
Réponse. On a les développements limités suivants :
\[\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4), \qquad 1 - \cosh x = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^5),\]ce qui donne
\[h(x) = \left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)\right) = -\frac{x^3}{2} + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{24}\right)x^5 + o(x^6),\]i.e.
\[h(x) = -\frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + o(x^6).\]由于 \(1-\cosh x\) 首项次数为 \(2\)，故 \(\sin x\) 只需展开到第 \(6-2=4\) 项；同时由于其第 \(4\) 项为 \(0\)，实际展到第三项即可。同理，根据 \(\sin x\) 的展开式，\(1-\cosh x\) 只需展到第五项即可。
Dans l’exercice précédent on a obtenu le \(DL_6\) du produit \(fg\) en utilisant des \(DL\) de chacune de ces fonctions à un ordre strictement inférieur à \(6\). De façon générale, si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions vérifiant
\[f(x) \sim a_p x^p, \qquad g(x) \sim b_q x^q \qquad (a_p \neq 0,\ b_q \neq 0),\]（即函数 \(f, g\) 的展开式中第一个不为 \(0\) 的系数分别是第 \(p\) 项和第 \(q\) 项）et ayant pour \(DL\) d’ordre respectif \(n-q\) et \(n-p\)（\(f, g\) 分别展到 \(n-q\) 和 \(n-p\) 阶即可）：
\[f(x) = P(x) + o(x^{n-q}), \qquad g(x) = Q(x) + o(x^{n-p}),\]on obtient
\[f(x)g(x) = P(x)Q(x) + P(x)\,o(x^{n-p}) + Q(x)\,o(x^{n-q}) + o(x^{n-p})\,o(x^{n-q}) = R(x) + o(x^n),\]où \(R(x)\) est la somme des termes de degré inférieur ou égal à \(n\) du polynôme \(P(x)Q(x)\) : on obtient donc bien un \(DL_n\) du produit \(fg\).
对于两个函数乘积的 \(n\) 阶展开：先确定两函数「首项非零」的次数 \(p, q\)，然后每个函数展开到 \(n\) 减去另一个函数的首项次数即可。
Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\) ainsi que \(f\) et \(g\) deux applications de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) définies au voisinage de \(a \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}\). Si \(f\) et \(g\) admettent des développements limités à l’ordre \(n\) en \(a\), alors pour tout \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2\), \(\lambda f + \mu g\) et \(fg\) admettent des développements limités à l’ordre \(n\) en \(a\).
此推论推广了前面性质中的结论：对于在任意点展开的函数都具有线性可加性与相乘性，包含了 \(0\) 点的情形。
Preuve. Il suffit d’appliquer les résultats de la proposition précédente, avec : si \(a \in \mathbb{R}\), les fonctions \(h \mapsto f(a+h)\) et \(h \mapsto g(a+h)\) ; si \(a = \pm\infty\), les fonctions \(u \mapsto f(1/u)\) et \(u \mapsto g(1/u)\).
Montrer que les fonctions définies par
\[f(x) = \frac{e^x - 1}{x} + \frac{\cos x - 1}{x^2} \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{(e^x - 1)(\cos x - 1)}{x^3} \qquad (x \neq 0)\]possèdent un développement limité à tout ordre \(n\) en \(0\).
由于分母是 \(x, x^2, x^3\)，证明中仅需知道 \(e^x - 1\)、\(\cos x - 1\) 在 \(0\) 点可展开（任意阶），然后应用展开的线性、相乘性质即可。
Preuve. D’après les formules classiques, il est évident que les fonctions \(x \mapsto \dfrac{e^x-1}{x}\) et \(x \mapsto \dfrac{\cos x - 1}{x^2}\) possèdent des développements limités à tout ordre \(n\) en \(0\) : en effet \(e^x - 1 = x\,\varphi(x)\) et \(\cos x - 1 = x^2\,\psi(x)\) où \(\varphi, \psi\) possèdent des DL à tout ordre (produits/quotients des DL de \(e^x\), \(\cos x\) et de \(\frac{1}{1+\cdots}\))… Par suite, par stabilité pour \(+\) et \(\times\), les fonctions \(f\) et \(g\) Possèdent un DL à tout ordre \(n\) en \(0\). ∎
Soit \(u\) une fonction définie au voisinage de \(0\) et telle que \(\lim_{x\to 0} u(x) = 0\). Si la fonction \(u\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(0\), alors la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{1-u(x)}\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(0\).
Preuve. Comme \(\lim_{x\to0} u = 0\), on a \(\lim_{x\to0}(1-u) = 1\) et la fonction \(1-u\) ne s’annule donc pas au voisinage de \(0\) ; par suite \(\dfrac{1}{1-u}\) est définie au voisinage de \(0\). Si \(n = 0\), le théorème de composition des limites permet d’écrire \(\lim_{x\to0}\frac{1}{1-u} = 1\), donc \(\frac{1}{1-u}\) admet un \(DL_0\). Supposons \(n \geqslant 1\). La fonction \(h \mapsto \dfrac{1}{1-h}\) admet un \(DL_n(0)\) :
\[\forall h \neq 1, \qquad \frac{1}{1-h} = \sum_{k=0}^{n} h^k + h^n\varepsilon_1(h), \qquad \lim_{h\to0}\varepsilon_1(h) = 0 \qquad (a).\]En remplaçant \(h\) par \(u(x)\) dans la relation (a), on obtient au voisinage de \(0\)
\[\frac{1}{1-u(x)} = \sum_{k=0}^{n} u(x)^k + u(x)^n\varepsilon_1(u(x)) \qquad (b).\]La fonction \(u\) admet en \(0\) un \(DL_n\) avec \(u(0) = 0\) (car \(\lim_{x\to0}u = 0\)), donc \(u(x) = a_1 x + \dots + a_n x^n + x^n\varepsilon_2(x)\), d’où \(u(x)^k\) admet un \(DL_n\) (produit), et \(u(x)^n \varepsilon_1(u(x)) = o(x^n)\) car \(u(x)^n = O(x^n)\) et \(\varepsilon_1(u(x)) \to 0\). Or la fonction \(\sum_k u(x)^k\) est une somme de puissances de fonctions admettant un \(DL_n\) : elle admet donc un \(DL_n\), égal à celui de \((b)\). ∎
1. Calculons un \(DL_2(0)\) de \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x + x^2}\). On a \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + o(u^2)\) ; ce qui, d’après la démonstration de la proposition précédente, donne, avec \(u(x) = x + x^2\) :
\[f(x) = \frac{1}{1 - (-(x+x^2))} = 1 - (x + x^2) + (x+x^2)^2 + o(x^2) = 1 - x + o(x^2),\]soit \(f(x) = 1 - x + o(x^2)\).
2. Calculons un \(DL_4(0)\) de la fonction \(g\) définie sur \(\left]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right[\) par \(g(x) = \dfrac{1}{\cos x}\). On a
\[g(x) = \frac{1}{1 - (1-\cos x)}, \qquad u(x) = 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4),\]et \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3\varepsilon(u)\). Lorsqu’on remplace \(u\) par \(1 - \cos x\) dans la relation (∗), on obtient
\[g(x) = 1 + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right) + \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4) + (1-\cos x)^3\varepsilon(1-\cos x).\]Au voisinage de \(0\), on a \((1-\cos x)^3 = O(x^6)\) et donc \((1-\cos x)^3\varepsilon(1-\cos x) = o(x^4)\), ce qui entraîne
\[g(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4).\]Remarquons qu’ici, il a suffi de prendre un \(DL_2\) de \(u \mapsto \dfrac{1}{1-u}\) car \(u(x) = o(x^2)\) et donc \(o(u(x)^3) = o(x^4)\)… plus précisément : comme \(u = O(x^2)\), \(u^3 = O(x^6) = o(x^4)\).
Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\) ainsi que \(f\) et \(g\) deux applications de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) définies au voisinage de \(a \in \mathbb{R}\). Si \(f\) et \(g\) admettent des développements limités d’ordre \(n\) en \(a\) et si \(g\) a une limite finie non nulle en \(a\), alors la fonction \(f/g\) admet un développement limité d’ordre \(n\) en \(a\).
Preuve. Quitte à remplacer \(x\) par \(a+h\) si \(a \in \mathbb{R}\) (ou par \(\frac1u\) si \(a = \pm\infty\)), on peut supposer \(a = 0\). Si \(n = 0\), il s’agit du théorème de composition des limites ; supposons \(n \geqslant 1\). La fonction \(g\) admettant une limite non nulle en \(0\), elle ne s’annule pas au voisinage de \(0\) et \(f/g\) est définie au voisinage de \(0\) ; en posant \(\lim_0 g = l\), on peut écrire au voisinage de \(0\) :
\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{l}\cdot\frac{1}{1 - u(x)}, \qquad u : x \mapsto 1 - \frac{g(x)}{l},\]et la fonction \(u\) admet au voisinage de \(0\) un \(DL_n\) dont le terme constant est nul (car \(\lim_0 u = 0\)). Donc, d’après la proposition précédente, la fonction \(\dfrac{1}{1-u}\) admet un \(DL_n(0)\). Par suite, \(\dfrac{f}{g} = \dfrac{f}{l}\cdot\dfrac{1}{1-u}\) admet au voisinage de \(0\) un \(DL_n\) comme produit de fonctions admettant un \(DL_n(0)\). ∎
Conformément à la méthode utilisée dans la démonstration précédente, on écrit \(f(x) = \dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1-u(x)}\) avec \(u(x) = -\dfrac{e^x - 1}{2}\). On a les DL :
\[u(x) = -\left(\frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{12}\right) + o(x^3), \qquad \frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3\varepsilon(u),\]ce qui entraîne, en développant jusqu’à l’ordre \(3\) :
\[f(x) = \frac{x}{2}\left(1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{4} + \dots + o(x^3)\right) = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} + o(x^3),\]soit \(\displaystyle\frac{x}{1+e^x} = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} + o(x^3)\).
Déterminer le \(DL_6(0)\) de \(\dfrac{1}{\cos x}\) et en déduire le \(DL_7(0)\) de \(\tan\). On commence par déterminer le \(DL_6(0)\) de \(\dfrac{1}{\cos x}\), en posant \(u = 1 - \cos x = \dfrac{x^2}{2!} - \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^6}{6!} + o(x^6)\) :
\[\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + o(u^3) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61 x^6}{720} + o(x^6).\]Puis on multiplie par \(\sin x\), dont on prend un \(DL_7\) :
\[\tan x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)\right)\left(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + o(x^6)\right),\]ce qui donne
\[\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + o(x^7).\]1. Déterminer de manière analogue le \(DL_7(0)\) de la fonction \(\tanh\) :
\[\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + o(x^7).\]2. Montrer, sans calcul, que la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \dfrac{x}{e^x - 1}\) possède un DL à tout ordre \(n\) en \(0\). Il est évident que la fonction \(f : x \mapsto \dfrac{e^x - 1}{x}\) possède un DL à tout ordre \(n\) en \(0\) et que \(\lim_{x\to0} f = 1\). Par suite la fonction \(g = \dfrac{1}{f}\) possède un DL à tout ordre \(n\) en \(0\).
Nous étudions ici \(h = g \circ f\) dans les conditions suivantes : \(g\) est une fonction définie sur \(D'\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) ; \(f\) est une fonction définie sur \(D\) telle que \(f(D) \subset D'\) ; \(f\) est définie au voisinage de \(x_0 \in \mathbb{R}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0 \in \mathbb{R}\) ; \(g\) est définie au voisinage de \(y_0\) ; \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(x_0\) :
\[f(x) = y_0 + a_{n'}(x-x_0)^{n'} + \dots + a_n (x-x_0)^n + o\big((x-x_0)^n\big) \quad \text{où } a_{n'} \neq 0,\]et \(g\) admet un développement limité à l’ordre \(m\) en \(y_0\) :
\[g(y) = b_0 + b_{m'}(y-y_0)^{m'} + \dots + b_m (y-y_0)^m + o\big((y-y_0)^m\big) \quad \text{où } b_{m'} \neq 0 .\]Si l’on écrit \(g(y) = b_0 + b_{m'}(y-y_0)^{m'} + \dots + b_m(y-y_0)^m + (y-y_0)^m\varepsilon(y)\) où \(\varepsilon(y) \to 0\) quand \(y \to y_0\), on obtient
\[g\circ f (x) = b_0 + b_{m'}(f(x)-y_0)^{m'} + \dots + b_m (f(x)-y_0)^m + (f(x)-y_0)^m\varepsilon(f(x)).\]En calculant le développement limité de chaque terme \((f(x)-y_0)^k\), on peut ainsi obtenir le développement limité de \(g \circ f\).
La question délicate consiste à prédire l’ordre maximal \(p\) du développement limité que l’on peut obtenir de cette manière. D’une part, pour tout \(k = m', \dots, m\), on sait calculer un DL de chaque terme \((f(x)-y_0)^k\) à l’ordre \(n'k + n - n'\) :
\[(f(x)-y_0)^k = (x-x_0)^{n'k}\Big(a_{n'} + a_{n'+1}(x-x_0) + \dots + a_n(x-x_0)^{n-n'} + o\big((x-x_0)^{n-n'}\big)\Big)^k,\]donc l’ordre de ce terme est contrôlé par \(n'k + n - n'\), le plus défavorable étant \(k = m'\). D’autre part, l’ordre final est contrôlé par le terme d’erreur : \((f(x)-y_0)^m \sim \big(a_{n'}(x-x_0)^{n'}\big)^m\), d’où \(o((f(x)-y_0)^m) = o((x-x_0)^{mn'})\). Au total :
\[\boxed{\;p \leqslant \min\big(n + (m-1)\,n',\ \ m\, n'\big)\;.\;}\]DL 所能得到的最高阶数取决于 \(o(x)\) 的最低次数：\((f(x)-y_0)^k\) 的余项次数为 \(n-n'\)（提出 \(x^{n'k}\) 后），故该项阶数为 \(n'k + n - n'\)，其中 \(k\) 最小为 \(m'\)；而整体误差 \(o((f-y_0)^m)\) 的最低次数为 \(m n'\)（\(f-y_0\) 的首项次数 \(n'\) 乘以 \(m\)）。故复合展开的最高次数不高于 \(\min\big(n+(m-1)n',\ m n'\big)\)。
Au voisinage de \(0\), on a \(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots\), \(e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \dots\). Dans cette situation : \(p = 3\), \(n' = 1\) et \(m' = 1\). Il suffit donc de prendre \(n = m = 3\). Partons des DL suivants :
\[\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3).\]En remplaçant \(u\) par \(\sin x\), on obtient
\[e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) + \frac12\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)^2 + \frac16\left(x + o(x)\right)^3 + (\sin x)^3\varepsilon(\sin x),\]or, au voisinage de \(0\), \((\sin x)^3\varepsilon(\sin x) = o(x^3)\) car \(\sin x = O(x)\) ; en ne tenant pas compte des termes négligeables devant \(x^3\),
\[e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3).\]La fonction \(g\) est bien définie puisque \(\forall x \in\, ]-\pi;\pi[\setminus\{0\},\ \dfrac{\sin x}{x} > 0\). On a les DL :
\[\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4), \qquad \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + u^2\varepsilon(u).\]En remplaçant \(u\) par \(\dfrac{\sin x}{x} - 1\), on a
\[\ln\frac{\sin x}{x} = \left(-\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)\right) - \frac12\left(-\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)\right)^2 + \left(\frac{\sin x}{x}-1\right)^2\varepsilon\!\left(\frac{\sin x}{x}-1\right).\]Au voisinage de \(0\), on a \(\dfrac{\sin x}{x} - 1 = O(x^2)\) et par suite \(\left(\dfrac{\sin x}{x}-1\right)^2\varepsilon(\cdot) = o(x^4)\). On a donc
\[\ln\frac{\sin x}{x} = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^4}{72} + o(x^4),\]en ne tenant pas compte des termes négligeables devant \(x^4\), on obtient
\[\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + o(x^4).\]Remarquons qu’il a suffi de prendre un développement de \(\ln(1+u)\) à l’ordre \(2\) car \(u(x) = \dfrac{\sin x}{x} - 1 = O(x^2)\) et donc \(O(u(x)^3) = o(x^4)\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-7）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| partie régulière tronquée | 截断的正则部分 \(R\) | 乘积只保留 \(\le n\) 次项 |
| 首项次数 \(p, q\) / premier terme non nul | 首个非零项的次数 | 决定凑阶规则 |
| quotient de DL | 商的展开 | 分母极限非零 |
| composition de DL (\(g\circ f\)) | 复合展开 | 阶数上限 \(\min(n+(m-1)n', mn')\) |
| ordre maximal atteignable \(p\) | 可得最高阶 | |
| développement « sans calcul » | 定性论证存在性（不实际算出） | \(\frac{x}{e^x-1}\) 例 |
II-8Développements limités à connaître必须熟记的渐近展开（0 点）
Soit \(P\) une fonction polynôme de degré \(p \in \mathbb{N}\) avec \(P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_p x^p\). Alors
\[P(x) = \begin{cases} a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_p x^p, & \text{à l’ordre } n \geqslant p,\\ a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n), & n < p.\end{cases}\]Cas particuliers.
\(\alpha = -1\) :
\[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots + (-1)^n x^n + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k + o(x^n);\]\(\alpha = \dfrac12\) :
\[\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots + (-1)^{k-1}\frac{1\cdot 3 \cdots (2k-3)}{2\cdot 4 \cdots (2k)}x^k + \dots = 1 + \frac{x}{2} + \sum_{k=2}^{n}(-1)^{k-1}\frac{(2k-2)!}{2^{2k-1}\,(k-1)!\,k!}x^k + o(x^n),\]\(\alpha = -2\) :
\[\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - \dots + (-1)^n(n+1)x^n + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k (k+1)\,x^k + o(x^n).\]\(f \in C^n\) sur \(]-1;1[\) ; d’après la formule de Taylor-Young à l’ordre \(n\), \(f(x) = \operatorname{Arcsin} x = \sum_{k=0}^{n+1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^{n+1})\), et \(f(0) = 0,\ f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\ f'(0) = 1\).
Pour obtenir les dérivées \(n\)-ièmes de \(f\), considérons l’égalité \(\sqrt{1-x^2}\,f'(x) = 1\), i.e. \((1-x^2)(f'(x))^2 = 1\), qui donne
\[(1-x^2)f''(x) - x f'(x) = 0.\]En appliquant la formule de Leibniz, on a
\[(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - n^2 f^{(n)}(x) = 0,\]puisque, en évaluant en \(0\) : \(\;f^{(n+2)}(0) = n^2 f^{(n)}(0),\ n \in \mathbb{N}\). On a alors
\[f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & \text{si } n = 2k,\\ \big((2k-1)!!\big)^2, & \text{si } n = 2k+1,\end{cases}\]on en déduit que
\[\operatorname{Arcsin} x = \sum_{k=0}^{n}\frac{\big((2k-1)!!\big)^2}{(2k+1)!}x^{2k+1} + o(x^{2n+1}) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2n+1}),\]les deux formes étant équivalentes car \(\dfrac{((2k-1)!!)^2}{(2k+1)!} = \dfrac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}\).
Fonction Arccos au voisinage de \(0\) : \(\operatorname{Arccos}(x) = \dfrac{\pi}{2} - \operatorname{Arcsin}(x)\).
Fonction Arcsinh au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2n+1\) :
\[\operatorname{Arsinh}(x) = x - \frac{1}{6}x^3 + \dots + (-1)^n\frac{1\cdot 3 \cdots (2n-1)}{2\cdot 4 \cdots (2n)}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2n+1}).\]PS : la fonction Arccosh au voisinage de \(0\) n’est pas définie !
Fonction Arctan au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2n+1\) :
\[\operatorname{Arctan}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} + o(x^{2n+1}).\]Fonction Argth au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2n+1\) :
\[\operatorname{Argth}(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}) = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2n+1}).\]Fonction tan au voisinage de \(0\), à l’ordre \(5\) : \(\tan(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + o(x^6)\).
Fonction tanh au voisinage de \(0\), à l’ordre \(5\) : \(\tanh(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + o(x^6)\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-8）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| double factorielle \((2k-1)!! = 1\cdot 3 \cdots (2k-1)\) | 双阶乘 | Arcsin 系数中出现 |
| Arcsin / Arccos / Arctan | 反正弦 / 反余弦 / 反正切 | |
| Arsinh / Arcosh / Argth (Artanh) | 反双曲正弦 / 余弦 / 正切 | arccosh 在 \(0\) 附近无定义 |
| développement limités « à connaître » | 必须熟记的展开式 | 一切 DL 计算的起点 |
II-9Utilisations simples des développements limitésDL 的简单应用：等价、延拓、切线与拐点、渐近线
Étant donné une fonction \(f\) définie au voisinage d’un point \(x_0 \in \mathbb{R}\), on souhaite étudier le comportement de \(f\) au voisinage de \(x_0\). Pour ce faire, on cherche une fonction \(g\), plus « simple » que \(f\), définie au voisinage de \(x_0\) et telle que \(f \sim g\) en \(x_0\).
Quand la fonction \(f\) admet un \(DL_n(x_0)\) dont la partie régulière est \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n} a_k (x-x_0)^k\) avec \(a_p \neq 0\), alors
\[f(x) \underset{x\to x_0}{\sim} a_p (x-x_0)^p .\]En effet, comme \(f\) admet un DL à l’ordre \(p\), il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(D\) telle que \(\lim_{x\to x_0}\varepsilon = 0\) et \(f(x) = a_p(x-x_0)^p + (x-x_0)^p\varepsilon(x) = a_p(x-x_0)^p\left(1 + \dfrac{\varepsilon(x)}{a_p}\right)\). Comme \(\lim \dfrac{\varepsilon(x)}{a_p} = 0\), on a bien \(f \sim a_p(x-x_0)^p\). ∎
L’utilisation directe des équivalents \(x(1+\cos x) \sim 2x\) et \(2\tan x \sim 2x\) ne permettant pas de conclure (différence), le recours à un développement limité s’impose. On constate que \(f\) est impaire et que le coefficient de \(x^2\) dans le DL de \(f\) est nul, ce qui oblige à chercher un DL à un ordre supérieur ou égal à \(3\). On a
\[x(1+\cos x) = x\left(2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = 2x - \frac{x^3}{2} + o(x^3), \qquad 2\tan x = 2x + \frac{2x^3}{3} + o(x^3),\]ce qui donne \(f(x) = -\dfrac{7}{6}x^3 + o(x^3)\), et donc
\[f(x) \underset{x\to 0}{\sim} -\frac{7}{6}x^3.\]上述函数为奇函数，故展开项不含 \(x^2\) 项；一次项相消后需继续展开，到第一个不为 \(0\) 的项（三次）即可截止。
Pour \(x > 0\), si on pose \(u = \dfrac1x\), on a \(f = e^u - (1+u)\). D’après les développements limités
\[e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2),\]on a \(e^u - (1+u) = \dfrac{u^2}{2} + o(u^2)\), et, par substitution de \(\dfrac1x\) à \(u\),
\[f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} \frac{1}{2x^2}.\]展开到第一个不为 \(0\) 的项即可。
On a déjà trouvé un équivalent du numérateur : \(x(1+\cos x) - 2\tan x \sim -\dfrac{7}{6}x^3\). Cherchons un équivalent du dénominateur en faisant un DL à l’ordre \(3\) :
\[2x - \sin x - \tan x = \left(2x - x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - \left(x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = -\frac{x^3}{6} + o(x^3),\]ce qui donne \(\dfrac{x(1+\cos x) - 2\tan x}{2x - \sin x - \tan x} \sim \dfrac{-\frac76 x^3}{-\frac16 x^3}\), et donc
\[\lim_{x\to 0}\frac{x(1+\cos x) - 2\tan x}{2x - \sin x - \tan x} = 7.\]Transformons d’abord l’expression de manière à obtenir un quotient :
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1+x)} = \frac{\ln(1+x) - x}{x\,\ln(1+x)}.\]On a \(x\ln(1+x) \sim x^2\). Un développement limité à l’ordre \(2\) donne
\[\ln(1+x) - x = \left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - x = -\frac{x^2}{2} + o(x^2),\]par suite \(\dfrac{\ln(1+x)-x}{x\ln(1+x)} \sim \dfrac{-\frac12 x^2}{x^2} = -\dfrac12\), et donc
\[\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1+x)}\right) = -\frac{1}{2}.\]Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(x_0\) et possédant un développement limité à l’ordre \(1\) en \(x_0\) : \(f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + o(x-x_0)\). Alors, d’après ce que l’on a vu : si \(f\) n’est pas définie en \(x_0\), on peut la prolonger par continuité en posant \(f(x_0) = a_0\) ; si de plus le DL est effectif au sens ci-dessus, la fonction prolongée est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0) = a_1\).
Montrer que la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \dfrac{\exp(x^2) - 1}{x^2}\) peut se prolonger en une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). Réponse. Au voisinage de \(0\), on a
\[\frac{\exp(x^2) - 1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left(x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)\right) = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2).\]Par suite, la fonction \(f\) se prolonge par continuité en \(0\) en posant \(f(0) = 1\). La fonction obtenue est dérivable en \(0\) et \(f'(0) = 0\).
Remarque. Bien que l’on ait obtenu un développement à l’ordre \(2\) de \(f\) en \(0\), notons que l’on ne peut rien en déduire quant à l’existence de la dérivée seconde de \(f\) en \(0\), comme nous l’avons dit.（函数具有 \(n\) 阶展开，不一定可以做 \(n\) 阶可导延拓；反之，如果 \(f\) 有 \(n\) 阶导数（\(C^n\)），则一定具有 \(n\) 阶展开。）
Position du problème : L’existence d’une tangente non verticale au point d’abscisse \(x_0\) du graphe d’une fonction \(f\) est équivalente à la dérivabilité de \(f\) en \(x_0\), c’est-à-dire à l’existence d’un développement limité de \(f\) à l’ordre \(1\) au voisinage de \(x_0\). Dans ce cas, l’étude du signe de
\[f(x) - f(x_0) - (x - x_0) f'(x_0)\]permet de préciser la position de la courbe par rapport à la tangente.（函数 \(f\) 图像与过 \(x_0\) 点切线的关系）
MÉTHODE. Pour obtenir la position de \(f\) par rapport à sa tangente au point \(x_0\), nous procèderons comme suit : si en \(x_0\) on dispose d’un développement limité
\[f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + o\big((x-x_0)^2\big) \quad \text{avec } a_2 \neq 0,\]alors la tangente est la droite d’équation \(y = a_0 + a_1(x-x_0)\) et, au voisinage de \(x_0\), la position de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe de \(a_2\), car
\[f(x) - \big(a_0 + a_1(x-x_0)\big) \sim a_2 (x-x_0)^2.\]Plus généralement, si en \(x_0\) on dispose d’un DL \(f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_p(x-x_0)^p + o\big((x-x_0)^p\big)\) avec \(a_p \neq 0\), alors la position est donnée par le signe de \(a_p(x-x_0)^p\) : si \(p\) est pair, la courbe reste du même côté (pas de traversée) ; si \(p\) est impair, la courbe traverse sa tangente — c’est un point d’inflexion.
Étudier au voisinage de \(1\) la position par rapport à la tangente de la courbe d’équation \(y = \operatorname{Arctan} x\). En \(1\), la fonction Arctan a pour \(DL_2\)
\[\operatorname{Arctan} x = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{4}(x-1)^2 + o\big((x-1)^2\big);\]le graphe est donc tangent à la droite d’équation \(y = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}(x-1)\) (过 \(1\) 点的切线方程), et au voisinage de \(1\) la courbe est en dessous de sa tangente, car \(\operatorname{Arctan} x - \left[\frac{\pi}{4} + \frac12(x-1)\right] \sim -\frac14(x-1)^2 < 0\).
Étudier au voisinage de \(0\) la position par rapport à la tangente de la courbe d’équation \(y = \dfrac{1}{1+e^x}\). La fonction \(f\) a pour \(DL_3(0)\)
\[f(x) = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^3}{48} + o(x^3).\]Au point d’abscisse \(0\), le graphe est donc tangent à la droite d’équation \(y = \dfrac12 - \dfrac{x}{4}\), et, au voisinage de \(0\), la quantité
\[f(x) - \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{4}\right) \sim \frac{x^3}{48}\]est positive à droite et négative à gauche : la courbe traverse sa tangente. Il s’agit d’un point d’inflexion（拐点）.
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(+\infty\) telle que \(\lim_{+\infty} f = +\infty\) ou \(-\infty\). L’existence d’une asymptote en \(+\infty\) au graphe de \(f\) est équivalente à l’existence de constantes \(a_0\) et \(a_1\) ainsi que d’une fonction \(\varepsilon\) tendant vers \(0\) en \(+\infty\) et vérifiant
\[f(x) = a_0 x + a_1 + \varepsilon(x).\]Dans ce cas, l’étude du signe de \(f(x) - (a_0 x + a_1)\) permet de positionner la courbe par rapport à son asymptote.
渐近线：曲线上一点 \(M\) 沿曲线无限远离原点时，若 \(M\) 到一条直线的距离无限趋近于 \(0\)，则这条直线称为这条曲线的渐近线。体现在上面的公式里就是：当 \(x\to\infty\) 时，函数 \(f(x)\) 与直线 \(a_0x+a_1\) 无限接近。
MÉTHODE — Résumons la situation : s’il existe des réels \(a_0, a_1, a_2\) tels que \(a_2 \neq 0\) et
\[f(x) = a_0 x + a_1 + \frac{a_2}{x} + o\!\left(\frac1x\right) \quad (x \to +\infty),\]alors la droite d’équation \(y = a_0 x + a_1\) est asymptote au graphe au voisinage de \(+\infty\), et la position de la courbe par rapport à son asymptote est donnée par le signe de \(\dfrac{a_2}{x}\). Plus généralement, s’il existe un entier \(p \geqslant 2\) et des réels \(a_0, a_1, a_{p+1}\) tels que \(a_{p+1} \neq 0\) et
\[f(x) = a_0 x + a_1 + \frac{a_{p+1}}{x^p} + o\!\left(\frac{1}{x^p}\right),\]alors la position est donnée par le signe de \(\dfrac{a_{p+1}}{x^p}\).
REMARQUE. Quand une fonction \(f\) vérifie (1) ou (2), on dit qu’elle possède un développement asymptotique (ou développement limité généralisé) au voisinage de \(+\infty\). Pour obtenir un tel développement, on calcule un développement limité à l’ordre \(p+1\) de \(\dfrac{f(x)}{x}\), car (1) est équivalent à
\[\frac{f(x)}{x} = a_0 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_{p+1}}{x^{p+1}} + o\!\left(\frac{1}{x^{p+1}}\right).\]Étude de l’asymptote oblique（斜渐近线） au graphe de \(f\) définie (pour \(|x| > 1\), et aux points où le radicand est positif) par \(f(x) = \sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}\). Réponse. Pour \(x > 1\), si on pose \(u = \dfrac1x\), on a
\[\frac{f(x)}{x} = \sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{1}{\sqrt{1-u}} = (1-u)^{-1/2} = 1 + \frac{u}{2} + \frac{3u^2}{8} + o(u^2),\](développement binomial, cas \(\alpha = -\frac12\) en \((-u)\)). Donc
\[f(x) = x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8x} + o\!\left(\frac1x\right),\]la droite d’équation \(y = x + \dfrac12\) est asymptote au graphe au voisinage de \(+\infty\), et au voisinage de \(+\infty\) le graphe est situé au-dessus de son asymptote (car \(\frac{3}{8x} > 0\)). De même au voisinage de \(-\infty\) : pour \(x < 0\), \(\frac{f(x)}{x} = -\,(1-u)^{-1/2}\), si bien que \(y = -x - \dfrac12\) est asymptote et la courbe est située au-dessus de son asymptote (car \(-\frac{3}{8x} > 0\) pour \(x<0\)).
Rechercher les asymptotes au graphe de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x) = \dfrac{x}{1+e^{1/x}}\). Réponse. Soit \(x \neq 0\) ; si on pose \(u = \dfrac1x\), on a
\[\frac{g(x)}{x} = \frac{1}{1+e^u},\]et l’application \(u \mapsto \dfrac{1}{1+e^u}\) a pour \(DL_3(0)\) : \(\dfrac{1}{1+e^u} = \dfrac12 - \dfrac{u}{4} + \dfrac{u^3}{48} + o(u^3)\) (calcul fait en II-7, exemple « \(\frac{x}{1+e^x}\) »), ce qui donne finalement
\[g(x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{48x^2} + o\!\left(\frac{1}{x^2}\right).\]La droite d’équation \(y = \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\) est asymptote au graphe au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\), le graphe étant situé au-dessus de son asymptote au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\) (car \(\frac{1}{48x^2} > 0\) des deux côtés).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-9）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| équivalent (\(f \sim g\)) | 等价（无穷小/无穷大） | DL 首项即等价主项 |
| partie régulière, premier coefficient non nul \(a_p\) | 正则部分、首个非零系数 | |
| tangente (non verticale) | （非垂直）切线 | |
| point d’inflexion | 拐点 | 奇次偏差项 ⟹ 穿越 |
| asymptote oblique / horizontale / verticale | 斜 / 水平 / 垂直渐近线 | |
| développement asymptotique (généralisé) | 渐近展开（广义 DL） | 按 \(\frac1x\) 降幂 |
| position de la courbe par rapport à (tangente/asymptote) | 曲线与切线（渐近线）的位置关系 | 看首个非零偏差项符号 |